Derivada de una funciĂ³n en un valor del dominio de la misma

IntroducciĂ³n

La derivada de una funciĂ³n nace de formalizar la nociĂ³n de recta tangente en un valor \(x_0\) para una funciĂ³n \(f(x)\).

En el grĂ¡fico siguiente, podemos observar un ejemplo del dibujo de una funciĂ³n junto con la recta tangente en un punto \(x_0\) de su dominio.

La pendiente de la recta tangente (en rojo) vendrĂ­a a representar lo que denominaremos la derivada de la funciĂ³n \(f(x)\) en \(x=x_0\).

IntroducciĂ³n

IntroducciĂ³n

DefiniciĂ³n de derivada de una funciĂ³n en un punto

Consideremos la figura anterior.

La pendiente de una recta recordemos que se define como la tangente del Ă¡ngulo con el eje X.

Hemos dibujado una funciĂ³n \(f(x)\) que pasa por el punto \((x_0,f(x_0))\) junto con una recta secante que pasa por el punto.

Otro punto de dicha recta dado un valor \(h\) serĂ­a \((x_0+h,f(x_0+h))\). Intuitivamente dicha recta secante “tiende” a la tangente cuando el valor \(h\) tiende a cero.

DefiniciĂ³n de derivada de una funciĂ³n en un punto

La pendiente de la recta secante como puede observarse es la tangente del Ă¡ngulo \(\alpha\) que vale \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). Entonces, la definiciĂ³n de derivada de \(f(x)\) en \(x=x_0\) es la siguiente:

DefiniciĂ³n de derivada en un punto Sea \(f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\). Diremos que \(f\) es derivable en \(x_0\) o que existe la derivada de \(f\) en \(x_0\) cuando existe el lĂ­mite siguiente: \[ \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \] y, en caso en que exista, llamaremos a dicho lĂ­mite derivada de la funciĂ³n \(f\) en \(x_0\) escrita matemĂ¡ticamente como \(f'(x_0)\).

DefiniciĂ³n de derivada de una funciĂ³n en un punto

ObservaciĂ³n: la derivada de una funciĂ³n es un propiedad local, es decir, estĂ¡ definida en un punto \(x_0\) del dominio.

Cuando, haciendo un abuso del lenguaje, se dice que la funciĂ³n \(f\) es derivable, se quiere decir que dicha funciĂ³n es derivable en todos los puntos del dominio de la misma.

DefiniciĂ³n de derivada de una funciĂ³n en un punto

ObservaciĂ³n: La derivada de una funciĂ³n \(f\) en un punto de su dominio \(x_0\) se puede expresar tambiĂ©n de la forma siguiente: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \] Para ver la expresiĂ³n anterior, basta considerar el cambio de variable siguiente \(x=x_0+h\), de donde \(h=x-x_0\) y aplicar la definiciĂ³n de derivada.

Fijaos que decir que \(h\) tiende a cero es equivalente a decir que \(x\) tiende a \(x_0\).

Ejemplos

Derivada de la funciĂ³n constante

Veamos que si la funciĂ³n \(f\) es constante en todo su dominio, \(f(x)=k\), para todo \(x\) del dominio, la derivada de \(f\) en cualquier punto del mismo es nula.

Sea \(x_0\) un punto del dominio de \(f\). La derivada de \(f\) en \(x_0\) serĂ¡: \[ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{k-k}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} 0 =0. \]

Derivada del monomio de grado \(n\)

Calculemos la derivada de funciĂ³n \(f\) si Ă©sta vale \(f(x)=x^n\), donde \(n\) es un valor natural mayor que \(1\) (\(n=1,2,\ldots\)):

Sea \(x_0\) un punto del dominio de \(f\). La derivada de \(f\) en \(x_0\) serĂ¡: \[ \begin{array}{rl} f'(x_0) & =\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} \frac{(x-x_0)(x^{n-1}+x^{n-2}x_0+x^{n-3}x_0^2+\cdots+ x_0^{n-1})}{x-x_0} \\ & \displaystyle =\lim_{x\to x_0} x^{n-1}+x^{n-2}x_0+x^{n-3}x_0^2+\cdots+ x_0^{n-1} =n\cdot x_0^{n-1}. \end{array} \]

Ejemplo

Derivada del monomio de grado \(n\)

La derivada de la funciĂ³n anterior en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:

Ejemplos

Derivada del valor absoluto

Consideremos la funciĂ³n \(f(x)=|x|\), valor absoluto de \(x\), definida en todo \(\mathbb{R}\) como: \(f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{si } x\geq 0, \\ -x & \mbox{si }x<0. \end{cases}\)

Estudiemos la derivabilidad de \(f\) en \(x_0=0\), es decir, veamos si el lĂ­mite siguiente existe: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}\).

Si hacemos el lĂ­mite anterior por la derecha o para los valores \(x>0\), obtenemos: \[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=\lim_{x\to 0^+}1 =1. \] En cambio, si lo hacemos por la izquierda o para los valores \(x<0\), obtenemos: \[ \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x}=\lim_{x\to 0^-} -1 =-1. \]

Ejemplos

Derivada del valor absoluto

Como los lĂ­mites anteriores no coinciden, concluimos que el lĂ­mite \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}\) no existe y por tanto, \(f\) no es derivable en \(x=0\).

GrĂ¡ficamente se observa que la funciĂ³n anterior tiene una punta en \(x=0\) y, por tanto, \(f\) no puede ser derivable en dicho punto.

Este comportamiento es el usual cuando una funciĂ³n no es derivable en un punto \(x_0\), es decir, se observa grĂ¡ficamente que en dicho punto, la funciĂ³n no tiene un comportamiento suave.

Ejemplos

Derivada del valor absoluto

Ejemplo

Derivada del valor absoluto

La grĂ¡fica del valor absoluto en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:

Propiedades de las funciones derivables

Derivabilidad implica continuidad

Teorema: sea \(f\) una funciĂ³n real de variable real y sea \(x_0\) un valor del dominio de \(f\). Si \(f\) es derivable en \(x_0\), entonces \(f\) es continua en \(x_0\).

Derivabilidad implica continuidad

DemostraciĂ³n.

Definimos la funciĂ³n siguiente en un entorno de valor \(x_0\): \[ g(x)=\begin{cases} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, & \mbox{si }x\neq x_0,\\ f'(x_0), & \mbox{si } x=x_0. \end{cases} \] Usando que \(f\) es derivable en \(x_0\), tenemos que la funciĂ³n \(g\) definida anteriormente serĂ¡ continua en \(x_0\) ya que: \[ \lim_{x\to x_0} g(x)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)=g(x_0). \] Si despejamos \(f(x)\) de la expresiĂ³n de \(g(x)\) obtenemos \(f(x)=f(x_0)+g(x)\cdot (x-x_0)\).

Veamos que \(f\) es continua en \(x_0\): \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0} f(x_0)+g(x)\cdot (x-x_0) = f(x_0)+f'(x_0)\cdot 0 = f(x_0), \] tal como querĂ­amos ver.

La derivada de la suma es suma de derivadas

ProposiciĂ³n. Sean \(f\) y \(g\) dos funciones reales de variable real y sea \(x_0\) un valor del dominio de \(f\) y de \(g\). Si \(f\) y \(g\) son derivables en \(x_0\), tambiĂ©n lo es la funciĂ³n suma \(f+g\), y se verifica que: \((f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)\).

DemostraciĂ³n: \[ \begin{array}{rl} (f+g)'(x_0) & = \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0} \\ & = \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)+g'(x_0). \end{array} \]

La derivada de una funciĂ³n por una constante es la constante por la derivada de la funciĂ³n

ProposiciĂ³n. Sea \(k\in\mathbb{R}\) un valor real, \(f\) una funciĂ³n real de variable real y \(x_0\) un valor del dominio de \(f\). Entonce si \(f\) es derivable en \(x_0\), tambiĂ©n lo es \(k\cdot f\) y se verifica que: \((k\cdot f)'(x_0)=k\cdot f'(x_0)\).

DemostraciĂ³n:

\[ \begin{array}{rl} (k\cdot f)'(x_0) & \displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{(k\cdot f)(x)-(k\cdot f)(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x\to x_0}\frac{k\cdot f(x)-k\cdot f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{k\cdot (f(x)-f(x_0))}{x-x_0} \\ &\displaystyle =k\lim_{x\to x_0}\frac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=k f'(x_0). \end{array} \]

La derivada del producto de funciones

ProposiciĂ³n. Sean \(f\) y \(g\) dos funciones reales de variable real y sea \(x_0\) un valor del dominio de \(f\) y de \(g\). Si \(f\) y \(g\) son derivables en \(x_0\), tambiĂ©n lo es la funciĂ³n producto \(f\cdot g\), y se verifica que: \((f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)\).

DemostraciĂ³n: \[ \begin{array}{rl} (f\cdot g)'(x_0) & = \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)\cdot g(x)-f(x_0)\cdot g(x_0)}{x-x_0} \\ & = \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x_0)+f(x)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g(x_0)}{x-x_0}\\ & = \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)\cdot (g(x)- g(x_0))+(f(x)-f(x_0))\cdot g(x_0)}{x-x_0}\\ & = \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)\cdot\frac{g(x)- g(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot g(x_0)=f(x_0)\cdot g'(x_0)+f'(x_0)\cdot g(x_0). \end{array} \]

La derivada del cociente de funciones

ProposiciĂ³n. Sean \(f\) y \(g\) dos funciones reales de variable real y sea \(x_0\) un valor del dominio de \(f\) y de \(g\) tal que \(g'(x_0)\neq 0\). Si \(f\) y \(g\) son derivables en \(x_0\), tambiĂ©n lo es la funciĂ³n cociente \(\frac{f}{g}\), y se verifica que: \(\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g'(x_0)}{g(x_0)^2}\).

DemostraciĂ³n: \[ \begin{array}{rl} \left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) & = \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{\left(\frac{f}{g}\right)(x)-\left(\frac{f}{g}\right)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{g(x_0)}}{x-x_0} =\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)\cdot g(x_0)-g(x)\cdot f(x_0)}{g(x)\cdot g(x_0)\cdot (x-x_0)} \\ & \displaystyle =\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g(x_0) -g(x)\cdot f(x_0)}{g(x)\cdot g(x_0)\cdot (x-x_0)} \\ & = \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)\cdot g(x_0)}\cdot \left(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right) \\ & = \displaystyle \frac{1}{g(x_0)^2}(f'(x_0)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g'(x_0)). \end{array} \]

Derivada de la funciĂ³n inversa

ProposiciĂ³n. Sea \(f\) una funciĂ³n real de variable real y \(x_0\) un valor del dominio de \(f\). Suponemos que \(f\) es derivable en \(x_0\) y que \(f'(x_0)\neq 0\). Supongamos que \(f\) admite inversa \(g\), es decir, existe una funciĂ³n \(g\) tal que \(g\circ f=\mathrm{Id}\), es decir, para cualquier valor \(x\) del dominio de \(f\), se cumple que \(g(f(x))=x\). AdemĂ¡s, suponemos que \(g\) es continua en \(f(x_0)\). Entonces \(g\) es derivable en \(f(x_0)\) y se verifica que \(g'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}\).

Derivada de la funciĂ³n inversa

DemostraciĂ³n:

El valor de \(g'(f(x_0))\) es: \(g'(f(x_0)) = \displaystyle\lim_{y\to f(x_0)}\frac{g(y)-g(f(x_0))}{y-f(x_0)}.\)

Para el cĂ¡lculo del lĂ­mite anterior, hacemos el cambio de variable siguiente: \(y=f(x)\), o \(x=g(y)\). Como \(y\) tiende a \(f(x_0)\), tendremos con la variable nueva que \(f(x)\) tiende a \(f(x_0)\) pero como \(g\) es continua en \(f(x_0)\), deducimos que \(g(f(x))=x\) tiende a \(g(f(x_0))=x_0\). En resumen, el lĂ­mite anterior puede escribirse como: \[ g'(f(x_0)) =\lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\frac{1}{f'(x_0)}. \]

Ejemplo

Ejemplo: derivada de la funciĂ³n \(g(x)=\sqrt[n]{x}\).

La funciĂ³n \(g(x)=\sqrt[n]{x}\) es la inversa de la funciĂ³n \(f(x)=x^n\) ya que: \(g(f(x))=g(x^n)=\sqrt[n]{x^n}=x\).

Usando la expresiĂ³n vista anteriormente, podemos escribir que: \(g'(f(x))=g'(x^n)=\frac{1}{f'(x)}\).

En un ejemplo anterior vimos que \(f'(x)=n\cdot x^{n-1}\). Por tanto: \(g'(x^n)=\frac{1}{n\cdot x^{n-1}}\).

Sea \(y=x^n\), entonces \(x=\sqrt[n]{y}\). Por tanto, \(g'(y)=\frac{1}{n\cdot x^{n-1}}=\frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{y^{n-1}}}\).

La derivada de la funciĂ³n \(g(x)\) en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:

Ejemplo

Ejemplo: derivada de la funciĂ³n \(\tan x\).

La funciĂ³n \(\tan x\) estĂ¡ definida como \(\frac{\sin x}{\cos x}\).

Calculemos primero la derivada de la funciĂ³n \(\sin x\) en un valor \(x_0\): \[ \begin{array}{rl} (\sin)'(x_0) & \displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{2\cos\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0}=2\cdot \cos(x_0)\lim_{x\to x_0}\frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0} \\ & \displaystyle = \cos(x_0)\lim_{x\to x_0}\frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}} = \cos(x_0), \end{array} \] usando que \(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}}=1.\) La expresiĂ³n anterior se deduce del hecho de que \(\lim\limits_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1\).

Si se hace el cambio de variable \(t=\frac{x-x_0}{2}\) y teniendo en cuenta que como \(x\to x_0\), entonces \(t\to 0\), los dos lĂ­mites anteriores son iguales a 1.

Ejemplo

Ejemplo: derivada de la funciĂ³n \(\tan x\).

Para calcular la derivada de la funciĂ³n \(\cos x\), usamos una tĂ©cnica similar: \[ \begin{array}{rl} (\cos)'(x_0) & \displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{\cos x-\cos x_0}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{-2\sin\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0}=-2\cdot \sin(x_0)\lim_{x\to x_0}\frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0} \\ & \displaystyle =- \sin(x_0)\lim_{x\to x_0}\frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}} = -\sin(x_0). \end{array} \] Usamos la propiedad de la derivada del cociente, podemos hallar la derivada de la funciĂ³n \(\tan x\): \[ \begin{array}{rl} (\tan)'(x_0) & =\left(\frac{\sin}{\cos}\right)'(x_0)=\frac{\sin'(x_0)\cdot \cos(x_0)-\sin (x_0)\cdot \cos'(x_0)}{\cos^2(x_0)}=\frac{\cos(x_0)\cdot \cos(x_0)+\sin (x_0)\cdot \sin(x_0)}{\cos^2(x_0)} \\ & = \frac{\cos^2(x_0)+\sin^2(x_0)}{\cos^2(x_0)}=\frac{1}{\cos^2 (x_0)}=1+\tan^2 (x_0). \end{array} \]

La derivada de la funciĂ³n \(\tan x\) en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:

Derivada de la funciĂ³n compuesta. Regla de la cadena

ProposiciĂ³n. Sean \(f\) y \(g\) dos funciones reales de variable real. Sea \(x_0\) un valor del dominio de \(f\) tal que \(f(x_0)\) es del dominio de \(g\). Supongamos que \(g\) es derivable en \(f(x_0)\) y \(f\) es derivable en \(x_0\). Entonces la funciĂ³n compuesta \(g\circ f\) es derivable en \(x_0\) y se verifica que: \((g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)\).

Derivada de la funciĂ³n compuesta. Regla de la cadena

DemostraciĂ³n: \[ \begin{array}{rl} (g\circ f)'(x_0) & \displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{(g\circ f)(x)-(g\circ f)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0} \\ & \displaystyle =\lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\cdot \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0). \end{array} \] En el Ăºltimo cĂ¡lculo, podemos afirmar que el lĂ­mite \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\) vale \(g'(f(x_0))\) porque como \(f\) es derivable en \(x_0\), \(f\) serĂ¡ continua en \(x_0\) y si \(x\to x_0\), entonces \(f(x)\to f(x_0)\) y el lĂ­mite anterior queda: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} =\lim_{f(x)\to f(x_0)}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}=g'(f(x_0)). \]

Ejemplo

Ejemplo

Hallemos la derivada de la funciĂ³n \(h(x)=\arctan (x^3+x^2+1)\).

La funciĂ³n anterior es la composiciĂ³n de la funciĂ³n \(f(x)=x^3+x^2+1\) y \(g(y)=\arctan y\), es decir: \(h(x)=(g\circ f)(x)\).

La derivada de la funciĂ³n \(f(x)\) se puede calcular usando la propiedad de la suma de derivadas y la expresiĂ³n de la derivada del monomio \(x^n\): \[ (x^3+x^2+1)'=(x^3)'+(x^2)'+(1)' = 3x^2+2x+0=3x^2+2x. \]

A continuaciĂ³n, hallemos la derivada de la funciĂ³n \(g(y)=\arctan y\). Dicha funciĂ³n es la funciĂ³n inversa de la funciĂ³n \(\tan x\). Usando la expresiĂ³n de la derivada de la funciĂ³n inversa, tenemos: \[ g'(\tan x)=\frac{1}{\tan'(x)}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 x}}=\cos^2 x. \]

Ejemplo

Ejemplo

Para hallar \(g'(y)\), tenemos que escribir \(y=\tan x\), y, por tanto, \(x=\arctan y\): \[ g'(y)=\cos^2(\arctan y)=\frac{1}{1+\tan^2 (\arctan y)}=\frac{1}{1+y^2}, \] donde hemos usado la siguiente relaciĂ³n trigonomĂ©trica: \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1+\tan^2\alpha}\).

La derivada de la funciĂ³n \(h(x)\) usando la regla de la cadena serĂ¡: \[ \begin{array}{rl} h'(x) & =(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=\frac{1}{1+f(x)^2}\cdot (3 x^2+2x)=\frac{3x^2+2x}{1+(x^3+x^2+1)^2}\\ & =\frac{3x^2+2x}{x^6+2 x^5+x^4+2 x^3+2 x^2+2}. \end{array} \]

La derivada de la funciĂ³n \(h(x)\) en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:

Tablas de derivadas

Si vais a tablas de derivadas y escribĂ­s “tablas de derivadas” en la casilla de bĂºsqueda, encontrarĂ©is un montĂ³n de tablas de derivadas para las funciones mĂ¡s usadas.

Teoremas de derivaciĂ³n

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con los extremos relativos de una funciĂ³n

DefiniciĂ³n de mĂ¡ximo relativo de una funciĂ³n. Sea \(f: (a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto del dominio de \(f\). Diremos que \(f\) tiene un mĂ¡ximo relativo en el punto \(x_0\) si existe un entorno de \(x_0\), es decir, existe un valor \(\delta >0\), tal que para todo valor \(x\) de este entorno, es decir, \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq (a,b)\), se cumple que \(f(x)\leq f(x_0)\). Si la condiciĂ³n anterior se verifica para cualquier valor \(x\in (a,b)\), diremos que \(f\) tiene un mĂ¡ximo absoluto en el punto \(x_0\).

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con los extremos relativos de una funciĂ³n

DefiniciĂ³n de mĂ­nimo relativo de una funciĂ³n. Sea \(f: (a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto del dominio de \(f\). Diremos que \(f\) tiene un mĂ­nimo relativo en el punto \(x_0\) si existe un entorno de \(x_0\), es decir, existe un valor \(\delta >0\), tal que para todo valor \(x\) de este entorno, es decir, \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq (a,b)\), se cumple que \(f(x)\geq f(x_0)\). Si la condiciĂ³n anterior se verifica para cualquier valor \(x\in (a,b)\), diremos que \(f\) tiene un mĂ­nimo absoluto en el punto \(x_0\).

Los puntos donde \(f\) presente un mĂ¡ximo o un mĂ­nimo relativos o absolutos se denominan extremos relativos o absolutos de la funciĂ³n.

Ejemplo

Ejemplo

Consideremos la funciĂ³n siguiente definida en el intervalo \((-2\pi,2\pi)\): \[ \begin{array}{rl} f:(-2\pi,2\pi) & \longrightarrow \mathbb{R},\\ x& \longrightarrow \sin(x)-\cos(x). \end{array} \] El grĂ¡fico de dicha funciĂ³n puede observase en la figura siguiente.

Vemos que tiene dos mĂ¡ximos relativos en los valores \(x=-\frac{5}{4}\pi\) y \(x=\frac{3}{4}\pi\) y dos mĂ­nimos relativos en los valores \(x=-\frac{\pi}{4}\) y \(x=\frac{7}{4}\pi\).

Observamos que dichos mĂ¡ximos y mĂ­nimos son absolutos.

El grĂ¡fico de la funciĂ³n anterior puede verse en Wolfram Alpha en el enlace siguiente:

Ejemplo

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con los extremos relativos de una funciĂ³n

Teorema: Sea \(f: (a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto del dominio de \(f\) que sea extremo relativo de la funciĂ³n. Entonces si \(f\) es derivable en el punto \(x_0\), se verifica que \(f'(x_0)=0\).

Intuitivamente, el teorema anterior nos dice que si la funciĂ³n \(f\) tiene un comportamiento suave en el extremo \(x_0\), la recta tangente en este punto tiene que ser horizontal, es decir, su pendiente tiene que ser nula, tal como podemos observar en los extremos del ejemplo anterior.

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con los extremos relativos de una funciĂ³n

DemostraciĂ³n

Como \(f\) es derivable en el punto \(x_0\), sabemos que existe el lĂ­mite siguiente \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\).

Decir que \(f\) es derivable en \(x_0\) es equivalente a decir que la funciĂ³n siguiente: \[ g(x)=\begin{cases} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, & \mbox{si }x\neq x_0,\\ f'(x_0), &\mbox{si }x=x_0, \end{cases} \] es continua en \(x_0\).

Veamos a continuaciĂ³n que necesariamente \(g(x_0)=f'(x_0)=\) y quedarĂ¡ demostrado el teorema.

Supongamos que \(g(x_0)>0\). Como la funciĂ³n \(g\) es continua en \(x_0\), por el teorema de conservaciĂ³n del signo de funciones continuas, existirĂ¡ un entorno de \(x_0\), es decir, existirĂ¡ un \(\delta >0\) tal que si \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq (a,b)\), \(g(x)>0\) tambiĂ©n serĂ¡ positiva para todos los valores \(x\) de dicho entorno.

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con los extremos relativos de una funciĂ³n

DemostraciĂ³n

Es decir, para todo \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\), \(g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0\).

Esto es equivalente a decir que el numerador y el denominador de la fracciĂ³n anterior tienen el mismo signo o, dicho en otras palabras:

  • si \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\) y \(x>x_0\), entonces \(f(x) > f(x_0)\) y,
  • si \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\) y \(x<x_0\), entonces \(f(x) < f(x_0)\).

Las condiciones anteriores contradicen el hecho que \(x_0\) sea un extremo ya que hemos encontrado valores en un entorno del mismo que superan \(f(x_0)\) y valores del mismo entorno que son menores que \(f(x_0)\). En conclusiĂ³n, llegamos a una contradicciĂ³n al suponer que \(g(x_0)=f'(x_0)>0\).

Ejercicio

Suponer que \(g(x_0)=f'(x_0)<0\) y ver que se llega a una contradicciĂ³n razonando de manera similar.

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con los extremos relativos de una funciĂ³n

DemostraciĂ³n

Al no poder ser que \(f'(x_0)>\) ni \(f'(x_0)<0\), necesariamente \(f'(x_0)=0\) tal como querĂ­amos demostrar.

ObservaciĂ³n: el recĂ­proco del teorema anterior es falso. Es decir, el hecho que \(f'(x_0)\) sea 0, no implica que \(x_0\) sea un extremo relativo de la funciĂ³n.

Ejemplo

Considerar, por ejemplo, la funciĂ³n \(f(x)=x^2\cdot \sin(x)\). Si derivamos dicha funciĂ³n, obtenemos: \[ f'(x)=2x\sin(x)+x^2\cos(x). \] Vemos que \(f'(0)=0\). En cambio \(f\) no tiene ningĂºn extremo en este punto tal como se observa en el grĂ¡fico de su funciĂ³n:

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con los extremos relativos de una funciĂ³n

Ejemplo

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con los extremos relativos de una funciĂ³n

Ejemplo

Para ver que el 0 no es extremo relativo, es facil ver que para \(x\in (0,\pi)\), \(f(x)\geq 0\) y para \(x\in (-\pi,0)\), \(f(x)\leq 0\). Comprobémoslo para unos cuantos valores en python, para \(x=-0.2,-0.1,0.1,0.2\):

from sympy import * 
  
def f(x):
 return(x**2*sin(x))

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con los extremos relativos de una funciĂ³n

Ejemplo

for x in [-0.2,-0.1,0.1,0.2]:
  print('f({x})={res}'.format(x=x, res=f(x)))
## f(-0.2)=-0.00794677323180245
## f(-0.1)=-0.000998334166468282
## f(0.1)=0.000998334166468282
## f(0.2)=0.00794677323180245

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con los extremos relativos de una funciĂ³n

Ejemplo

El cĂ¡lculo de la derivada de la funciĂ³n anterior puede verse en Wolfram Alpha en el enlace siguiente:

El grĂ¡fico de la funciĂ³n anterior puede verse en Wolfram Alpha en el enlace siguiente:

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con el crecimiento de una funciĂ³n

DefiniciĂ³n de crecimiento de una funciĂ³n: Sea \(f: (a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto del dominio de \(f\). Diremos que \(f\) es estrictamente creciente en el punto \(x_0\) si existe un entorno de \(x_0\), es decir, existe un valor \(\delta >0\) tal que para todo \(x\) de dicho entorno diferente de \(x_0\), o si \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq (a,b)\), con \(x\neq x_0\), se verifica que el cociente siguiente es positivo: \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0\).

ObservaciĂ³n: la definiciĂ³n anterior es equivalente a decir que existe un valor \(\delta >0\) tal que si \(x\in (x_0,x_0+\delta)\) o \(x>x_0\), entonces \(f(x)>f(x_0)\) y si \(x\in (x_0-\delta)\) o \(x<x_0\), entonces \(f(x)<f(x_0)\). Ver grĂ¡fico siguiente.

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con el crecimiento de una funciĂ³n

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con el crecimiento de una funciĂ³n

ObservaciĂ³n: si la desigualdad anterior \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0\) no es estricta, se dice que \(f\) es creciente.

DefiniciĂ³n de decrecimiento de una funciĂ³n: Sea \(f: (a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto del dominio de \(f\). Diremos que \(f\) es estrictamente decreciente en el punto \(x_0\) si existe un entorno de \(x_0\), es decir, existe un valor \(\delta >0\) tal que para todo \(x\) de dicho entorno diferente de \(x_0\), o si \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq (a,b)\), con \(x\neq x_0\), se verifica que el cociente siguiente es negativo: \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0\).

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con el crecimiento de una funciĂ³n

ObservaciĂ³n: la definiciĂ³n anterior es equivalente a decir que existe un valor \(\delta >0\) tal que si \(x\in (x_0,x_0+\delta)\) o \(x>x_0\), entonces \(f(x)<f(x_0)\) y si \(x\in (x_0-\delta)\) o \(x<x_0\), entonces \(f(x)>f(x_0)\). Ver grĂ¡fico siguiente.

ObservaciĂ³n: si la desigualdad anterior \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0\) no es estricta, se dice que \(f\) es decreciente.

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con el crecimiento de una funciĂ³n

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con el crecimiento de una funciĂ³n

ProposiciĂ³n. Sea \(f: (a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto del dominio de \(f\). Supongamos que \(f\) es derivable en \(x_0\). Entonces si \(f'(x_0)>0\) o \(f\) tiene derivada positiva en \(x_0\), entonce \(f\) es estrictamente creciente en \(x_0\).

DemostraciĂ³n

Como \(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0\), usando la definiciĂ³n de lĂ­mite tenemos que: \[ \forall \epsilon >0,\ \exists\delta >0\ \mbox{t.q. si }|x-x_0|<\delta,\mbox{ entonces }\left|f'(x_0)-\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|< \epsilon. \]

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con el crecimiento de una funciĂ³n

DemostraciĂ³n

La Ăºltima condiciĂ³n se puede escribir de la siguiente manera: \[ f'(x_0)-\epsilon < \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} < f'(x_0)+\epsilon. \] Como \(f'(x_0)>0\), siempre es posible hallar un \(\epsilon >0\) tal que \(f'(x_0)-\epsilon>0\).

Para este \(\epsilon >0\), podemos encontrar un entorno de \(x_0\), es decir, un \(\delta >0\) tal que si \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\), entonces: \[ 0<f'(x_0)-\epsilon < \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} < f'(x_0)+\epsilon, \] de donde deducimos que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0\) para todo \(x\) del entorno, \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\), lo que equivale a decir que \(f\) es estrictamente creciente en \(x_0\).

RelaciĂ³n de la derivaciĂ³n con el crecimiento de una funciĂ³n

ProposiciĂ³n. Sea \(f: (a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto del dominio de \(f\). Supongamos que \(f\) es derivable en \(x_0\). Entonces si \(f'(x_0)<0\) o \(f\) tiene derivada negativa en \(x_0\), entonce \(f\) es estrictamente decreciente en \(x_0\).

Ejercicio

Demostrar la proposiciĂ³n anterior usando la misma tĂ©cnica que para demostrar que si \(f'(x_0)>0\), entonces \(f\) es estrictamente creciente en \(x_0\).

Ejemplo

Ejemplo

Consideremos la funciĂ³n siguiente de un ejemplo anterior: \(f(x)=\sin(x)-\cos(x)\).

La derivada de la funciĂ³n \(f\) vale: \(f'(x)=\cos(x)+\sin(x)\).

Dicha funciĂ³n se anula en los extremos \(x=-\frac{5}{4}\pi,-\frac{\pi}{4},\frac{3}{4}\pi\) y \(\frac{7}{4}\pi\):

def f(x):
 return(cos(x)+sin(x))
 
for x in [-5*pi/4,-pi/4,3*pi/4,7*pi/4]:
  print('f({x})={res}'.format(x=x, res=f(x)))
## f(-5*pi/4)=0
## f(-pi/4)=0
## f(3*pi/4)=0
## f(7*pi/4)=0

Ejemplo

En los puntos \(x=-\frac{3}{2}\pi\) y \(x=\frac{\pi}{2}\) la funciĂ³n es estrictamente creciente al tener derivada positiva en dichos puntos:

for x in [-3*pi/2,pi/2]:
  print('f({x})={res}'.format(x=x, res=f(x)))
## f(-3*pi/2)=1
## f(pi/2)=1

En cambio, en los puntos \(x=-\frac{\pi}{2}\) y \(\frac{3}{2}\pi\) la funciĂ³n es estrictamente decreciente al tener derivada negativa en dichos puntos:

for x in [-pi/2,3*pi/2]:
  print('f({x})={res}'.format(x=x, res=f(x)))
## f(-pi/2)=-1
## f(3*pi/2)=-1

Teorema de Rolle. Teorema del valor medio

Las proposiciones vistas hasta ahora nos estudian el comportamiento local de una funciĂ³n en un punto en tĂ©rminos de su crecimiento dependiendo del signo de la derivada de dicha funciĂ³n en dicho punto.

Vamos a ver dos resultados que estudian las propiedades globales de la funciĂ³n en todo su dominio a partir del comportamiento de la funciĂ³n derivada de dicha funciĂ³n.

El teorema de Rolle dice en pocas palabras que si una funciĂ³n derivable en todo su dominio coincide en los extremos del mismo, necesariamente ha de tener como mĂ­nimo un extremo. Intuitivamente, el resultado es claro ya que si suponemos por ejemplo que la funciĂ³n crece en su extremo izquierdo \(a\), como \(f(a)=f(b)\), donde \(b\) es su extremo derecho, en algĂºn momento tiene que decrecer. Por tanto, en “dicho momento”, la funciĂ³n tendrĂ¡ un extremo o un mĂ¡ximo en este caso:

Teorema de Rolle. Teorema del valor medio

Teorema de Rolle. Teorema del valor medio

El teorema del valor medio nos dice que dada una funciĂ³n derivable en todo su dominio, ha de existir un punto en el que recta tangente en dicho punto sea paralela a la recta que pasa por los extremos del dominio de la funciĂ³n.

En el grĂ¡fico siguiente la recta verde es la recta que pasa por los extremos de la funciĂ³n (en azul) y la recta roja es la recta tangente al punto \(c\) que pertenece al dominio de la funciĂ³n.

Teorema de Rolle. Teorema del valor medio

Teorema de Rolle

Teorema de Rolle. Sea \(f: [a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real (!ojo!, estĂ¡n incluidos los extremos del intervalo). Supongamos que \(f\) es continua en todo su dominio \([a,b]\) y derivable en los puntos del interior \((a,b)\). Supongamos ademĂ¡s que las imĂ¡genes en los extremos coinciden, es decir, \(f(a)=f(b)\). Entonces existe al menos un punto \(c\in (a,b)\) tal que \(f'(c)=0\).

Teorema de Rolle

DemostraciĂ³n

Como la funciĂ³n \(f\) es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\), deducimos que \(f\) tiene un mĂ¡ximo absoluto \(M\) y un mĂ­nimo absoluto \(m\).

Pueden ocurrir dos casos:

  • Que el mĂ¡ximo absoluto se alcance en el extremo \(a\) y el mĂ­nimo, en el extremo \(b\), con \(f(a)=M\) y \(f(b)=m\) o al revĂ©s, es decir, que el mĂ¡ximo absoluto se alcance en el extremo \(b\) y el mĂ­nimo, en el extremo \(a\), con \(f(a)=m\) y \(f(b)=M\). Como \(f(a)=f(b)\), resulta que \(M=m\) y la Ăºnica funciĂ³n en un intervalo en donde su mĂ¡ximo coincide con su mĂ­nimo es la funciĂ³n constante. En este caso \(f'(x)=0\), para todo \(x\in (a,b)\) como ya vimos anteriormente y el teorema quedarĂ­a demostrado en este caso.
  • Supongamos que el mĂ¡ximo o el mĂ­nimo de la funciĂ³n se alcanza en un punto \(c\in (a,b)\) del interior del intervalo. Por un teorema visto anteriormente, tenemos que \(f'(c)=0\) y el teorema quedarĂ­a demostrado tambiĂ©n en este caso.

Teorema del valor medio de Cauchy

Teorema del valor medio de Cauchy. Sean \(f,g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) dos funciones continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\). Entonces, existe un punto \(c\in (a,b)\) del interior del intervalo tal que: \[ f'(c)\cdot (g(b)-g(a)) = g'(c)\cdot (f(b)-f(a)). \]

Teorema del valor medio de Cauchy

DemostraciĂ³n

Consideramos la funciĂ³n siguiente: \[ h(x)=f(x)\cdot (g(b)-g(a))-g(x)\cdot (f(b)-f(a)), \] que serĂ¡ continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\) al ser suma de productos de funciones continuas y derivables por constantes.

La idea es aplicar el teorema de Rolle a la funciĂ³n \(h(x)\). Calculemos \(h(a)\) y \(h(b)\): \[ \begin{array}{rl} h(a) & = f(a)\cdot (g(b)-g(a))-g(a)\cdot (f(b)-f(a)) = f(a)\cdot g(b)-g(a)\cdot f(b),\\ h(b) & = f(b)\cdot (g(b)-g(a))-g(b)\cdot (f(b)-f(a)) = -f(b)\cdot g(a)+g(b)\cdot f(a). \end{array} \] Se cumple, por tanto, que \(h(a)=h(b)\). Aplicando el teorema de Rolle a la funciĂ³n \(h\), tenemos que existe un punto \(c\in (a,b)\) tal que \(h'(c)=0\): \[ h'(c)=f'(c)\cdot (g(b)-g(a))-g'(c)\cdot (f(b)-f(a))=0, \] de donde deducimos lo que dice la tesis del teorema: \[ f'(c)\cdot (g(b)-g(a)) = g'(c)\cdot (f(b)-f(a)). \]

Teorema del valor medio de Lagrange

Teorema del valor medio de Lagrange Sea \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\). Entonces, existe un punto \(c\in (a,b)\) del interior del intervalo tal que: \[ f(b)-f(a)=f'(c)\cdot (b-a). \]

Ejercicio

Demostrar el teorema del valor medio de Lagrange.

IndicaciĂ³n: considerar \(f(x)\) la funciĂ³n del teorema, \(g(x)=x\) y aplicar el teorema del valor medio de Cauchy.

Teorema del valor medio de Lagrange

ObservaciĂ³n: el teorema del valor medio de Lagrange es equivalente a afirmar lo que hemos dicho anteriormente: si \(f\) es derivable en el intervalo abierto y continua en el cerrado, existe un valor \(c\) del interior del intervalo tal que \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\), es decir, la pendiente de la recta tangente en el punto \(c\) coincide con la pendiente de la recta que pasa por los extremos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\). Es decir, la recta tangente en el punto \(c\) es paralela a la recta que pasa por los extremos del intervalo de definiciĂ³n de la funciĂ³n \(f\).

Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio

Corolario. Sea \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\) tal que \(f'(x)=0\) para todo \(x\in (a,b)\). Entonces \(f\) es constante.

DemostraciĂ³n

Sea \(x\in (a,b]\). Veamos que \(f(x)=f(a)\) y, por tanto, \(f\) serĂ¡ constante.

Para ello, consideremos la funciĂ³n \(f\) restringida al intervalo \([a,x]\), \(f:[a,x]\longrightarrow\mathbb{R}\), que serĂ¡ continua en \([a,x]\) y derivable en \((a,x)\). Si aplicamos el teorema del valor medio de Lagrange, tenemos que existe un \(c\in (a,x)\) tal que: \[ f(x)-f(a)=f'(c)\cdot (x-a)=0, \] ya que nos dicen que \(f'(c)=0\) al ser la derivada nula en cualquier punto del intervalo \((a,b)\).

Deducimos, por tanto, que \(f(x)=f(a)\), condiciĂ³n que equivale a que la funciĂ³n \(f\) es constante.

Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio

Corolario. Sean \(f, g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) funciones continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\) tal que \(f'(x)=g'(x)\) para todo \(x\in (a,b)\). Entonces \(f(x)-g(x)\) es constante.

Ejercicio

Demostrar el corolario anterior.

IndicaciĂ³n: aplicar el resultado que hemos visto antes a la funciĂ³n \(h(x)=f(x)-g(x)\).

Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio

Corolario. Sea \(f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n derivable en todo punto del intervalo \((a,b)\). Entonces, \(f\) es creciente en \((a,b)\) si, y sĂ³lo si, \(f'(x)\geq 0\), para todo \(x\in (a,b)\) del intervalo.

DemostraciĂ³n

\(\Rightarrow\) Supongamos que la funciĂ³n \(f\) es creciente en \((a,b)\). Esto significa que fijado \(x_0\in (a,b)\) en el intervalo, existe un entorno de \(x_0\), es decir, existe un \(\delta >0\), tal que para todo valor \(x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\), se verifica que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0\).

Entonces, usando que \(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\), tendremos que \(f'(x_0)\geq 0\), tal como querĂ­amos ver.

Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio

DemostraciĂ³n

\(\Leftarrow\) Supongamos ahora que \(f'(x_0)\geq 0\), para todo valor \(x_0\in (a,b)\) dentro del intervalo. Veamos que \(f\) es creciente en \(x_0\).

Sea \(x>x_0\). Si aplicamos el teorema del valor medio de Lagrange a la funciĂ³n \(f\) restringida al intervalo \([x_0,x]\) tenemos que existe un valor \(c\) tal que: \[ f'(c)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0. \] Sea ahora \(x<x_0\). Si volvemos a aplicar el el teorema del valor medio de Lagrange a la funciĂ³n \(f\) restringida al intervalo \([x,x_0]\) tenemos que existe un valor \(c\) tal que: \[ f'(c)=\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0. \]

Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio

DemostraciĂ³n

En resumen, el cociente \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0\) siempre es positivo, condiciĂ³n que equivale a afirmar que \(f\) es creciente en \(x_0\).

De hecho, hubiera sido suficiente demostrar que el cociente anterior es positivo en un entorno de \(x_0\) pero hemos demostrado mĂ¡s, hemos visto que dicho cociente siempre es positivo sea cual sea el valor \(x\in (a,b)\) del intervalo.

Resultados que se derivan de los teoremas de Rolle y del valor medio

Corolario. Sea \(f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\) una funciĂ³n derivable en todo punto del intervalo \((a,b)\). Entonces, \(f\) es decreciente en \((a,b)\) si, y sĂ³lo si, \(f'(x)\leq 0\), para todo \(x\in (a,b)\) del intervalo.

Ejercicio

Demostrar el corolario anterior usando la misma tĂ©cnica de demostraciĂ³n para el caso en que la funciĂ³n \(f\) es creciente.

Ejemplo

Ejemplo

Consideremos la funciĂ³n vista anteriormente \(f(x)=\sin (x)-\cos(x)\) definida en el intervalo \((-\pi,\pi)\).

Como \(f(-\pi)=1=f(\pi)\), aplicando el teorema de Rolle, sabemos que existe como mĂ­nimo un valor \(c\) tal que \(f'(c)=0\). De hecho, hay dos como hemos visto anteriormente: \(c=-\frac{\pi}{4}\) y \(c=\frac{3}{4}\pi\): \[ \begin{array}{rl} f'(x) & =\cos(x)+\sin(x),\\ f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) & =\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0,\\ f'\left(\frac{3\pi}{4}\right) & =\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=0. \end{array} \] Si ahora consideramos la funciĂ³n anterior pero definida en el intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), tenemos que existe un valor \(c\) tal que: \[ f'(c)=\cos(c)+\sin(c)=\frac{f\left(\frac{\pi}{2}\right)-f\left(-\frac{\pi}{2}\right)}{\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{1-(-1)}{\pi}=\frac{2}{\pi}. \]

Ejemplo

Hallemos a continuaciĂ³n el valor \(c\): \[ \begin{array}{rl} \cos(c)+\sin(c) & = \frac{2}{\pi}, \\ \cos(c) & = \frac{2}{\pi}-\sin(c), \\ \pm \sqrt{1-\sin^2(c)} & = \frac{2}{\pi}-\sin(c), \\ 1-\sin^2(c) & = \left(\frac{2}{\pi}-\sin(c)\right)^2 = \frac{4}{\pi^2}+\sin^2(c)-\frac{4}{\pi}\sin(c),\\ 2\sin^2(c)-\frac{4}{\pi}\sin(c)+\frac{4}{\pi^2}-1 & = 0,\\ \sin(c) & = \frac{\frac{4}{\pi}\pm \sqrt{\frac{16}{\pi^2}-8\cdot\left(\frac{4}{\pi^2}-1\right)}}{4},\\ \sin(c) & = \frac{\frac{4}{\pi}\pm \sqrt{8-\frac{16}{\pi^2}}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{8\pi^2-16}}{4\pi}=\frac{2\pm\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}. \end{array} \]

Ejemplo

El valor de \(\cos(c)\) serĂ¡: \[ \begin{array}{rl} \cos(c) & =\pm\sqrt{1-\left(\frac{2\pm\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}\right)^2} = \pm\sqrt{1-\frac{2\pi^2\pm 4\sqrt{2\pi^2-4}}{4\pi^2}}=\pm\sqrt{\frac{2\pi^2\mp4\sqrt{2\pi^2-4}}{4\pi^2}}\\ & =\pm\sqrt{\frac{(2\mp\sqrt{2\pi^2-4})^2}{4\pi^2}} = \pm\frac{(2\mp\sqrt{2\pi^2-4})}{2\pi}. \end{array} \] Entonces las parejas \((\sin(c),\cos(c))\) son las siguientes:

  • si \(\sin(c)=\frac{2+\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}\), entonces \(\cos(c)=\frac{2-\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}\),
  • si \(\sin(c)=\frac{2-\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}\), entonces \(\cos(c)=\frac{2+\sqrt{2\pi^2-4}}{2\pi}\).

El primer caso no puede ser ya que \(\cos(c)<0\) y como estamos en el intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), la funciĂ³n coseno es positiva.

SĂ³lo serĂ¡ soluciĂ³n el segundo caso, donde el valor de \(c\) serĂ¡ aproximadamente: -0.318.

Ejemplo

Comprobemos usando python que el valor de \(c\) hallado es el correcto:

from numpy import * 
c=arcsin((2-sqrt(2*pi**2-4))/(2*pi))
derivada_c = sin(c)+cos(c)
k=2/pi
print('El valor de c es: {c}'.format(c=c))
## El valor de c es: -0.318455713398

Ejemplo

print('El valor de la derivada de f en c es:{x}'.format(x=derivada_c))
## El valor de la derivada de f en c es:0.636619772368
print('El valor de 2/pi es:{k}'.format(k=k))
## El valor de 2/pi es:0.636619772368

Regla de L’Hôpital

Una de las aplicaciones mĂ¡s importantes de las derivadas es su aplicaciĂ³n al cĂ¡lculo de lĂ­mites de funciones.

La regla de L’Hôpital nos permite calcular límites indeterminados usando derivadas:

Regla de L’Hôpital

Teorema: regla de L’Hôpital. Sean \(f,g:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) y sea \(c\in (a,b)\) un punto interior del intervalo. Supongamos:

  • \(f\) y \(g\) son derivables en un entorno del punto \(c\),
  • \(f(c)=g(c)=0\),
  • \(g(x)\neq 0\) para todo valor \(x\) del entorno de \(c\) diferente de \(c\),
  • \(g'(x)\neq 0\), para todo valor \(x\) del entorno de \(c\) diferente de \(c\).

Si se verifican las condiciones anteriores y el límite siguiente existe \(\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\) y vale \(L\) (\(L\) puede ser \(\pm\infty\)), entonces también existe el límite \(\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L\) y vale \(L\).

Regla de L’Hôpital

DemostraciĂ³n

Sea \(\delta >0\) tal que \((c-\delta,c+\delta)\subseteq (a,b)\) en entorno de \(c\) donde se cumplen las condiciones del teorema.

Sea \(x\in (c-\delta,c+\delta)\) un valor del entorno. Podemos afirmar que en intervalo \([c,x]\) se cumplen las hipĂ³tesis del teorema del valor medio de Cauchy ya que \(f\) y \(g\) son derivables en \((c,x)\) al serlo en todo el entorno \((c-\delta,c+\delta)\) y continuas en \([c,x]\) ya que como son derivables en todo en entorno, serĂ¡n continuas y como \([c,x]\subset (c-\delta,c+\delta)\), tambiĂ©n serĂ¡n continuas en el intervalo \([c,x]\).

Usando por tanto el teorema del valor medio de Cauchy, podemos afirmar que existe un punto \(d\in (c,x)\) tal que: \[ f'(d)\cdot (g(d)-g(c))=g'(d)\cdot (f(d)-f(c)). \] Recordemos que \(f(c)=g(c)=0\), \(f'(d)\neq 0\) y \(g'(d)\neq 0\) ya que suponĂ­amos que las derivadas \(f'\) y \(g'\) no se anulaban en el entorno de \(c\). Usando las condiciones anteriores, podemos simplificar la expresiĂ³n anterior de la siguiente manera: \[ \frac{f'(d)}{g'(d)}=\frac{f(d)}{g(d)}. \]

Regla de L’Hôpital

Si hacemos tender \(x\to c\), como \(d\in (c,x)\), tendremos que \(d\to c\). Por tanto, \[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L, \] por hipĂ³tesis.

En resumen, si existe \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), también existe el límite \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) y los dos coinciden.

ObservaciĂ³n: el teorema sigue siendo cierto en el caso en que \(a\), \(b\), \(c\) o \(L\) son \(\pm \infty\). Es decir, si existe el lĂ­mite \(\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), tambiĂ©n existe el lĂ­mite \(\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\) y los dos coinciden y pueden tener como resultado \(\pm\infty\).

Ejemplo

Ejemplo

Calculemos el valor del lĂ­mite siguiente \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x-x\cos x}\).

Observemos que si sustituimos por el valor \(0\), obtenemos la indeterminaciĂ³n \(\frac{0}{0}\).

Usando la regla de L’HĂ´pital, calculemos el lĂ­mite anterior: \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x-x\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{1-\cos x+x\sin x}=\frac{0}{0}. \] Nos vuelve a dar la indeterminaciĂ³n \(\frac{0}{0}\). Aplicando la regla de L’HĂ´pital por segunda vez, obtenemos: \[ \lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{1-\cos x+x\sin x} =\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{\sin x+\sin x+x\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{2\sin x+x\cos x}=\frac{0}{0}. \]

Ejemplo

Nos vuelve a dar la indeterminaciĂ³n \(\frac{0}{0}\). Aplicando la regla de L’HĂ´pital por tercera vez, obtenemos: \[ \lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{2\sin x+x\cos x} =\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x}{2\cos x+\cos x-x\sin x}=\frac{-1}{3}. \] El lĂ­mite tiene el valor \(-\frac{1}{3}\).

El lĂ­mite anterior en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:

Regla de L’Hôpital

¡Cuidado!

La regla de L’HĂ´pital sĂ³lo se puede aplicar en un sentido. Es decir, si existe el lĂ­mite \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), bajo las condiciones del Teorema anterior, existe el \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) y son iguales; ahora bien, si no existe el lĂ­mite \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), no podemos decir nada acerca del lĂ­mite \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}\). VĂ©ase el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Ejemplo

Consideremos el lĂ­mite siguiente: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x}.\)

Si sustituimos \(x\) por \(0\) en el lĂ­mite anterior obtenemos el valor \(\frac{0}{0}\), pensad que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0\) vale \(0\) ya que es el lĂ­mite de una funciĂ³ que tiende a 0 (\(x^2\)) por una funciĂ³n acotada (\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)).

Apliquemos pues la regla de l’HĂ´pital: \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x} & \displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)+x^2\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)}{\cos x}= \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x} \\ & \displaystyle =\lim_{x\to 0} \frac{2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x}-\lim_{x\to 0}\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x} = 0-\lim_{x\to 0}\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x} = -\lim_{x\to 0}\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x}. \end{array} \] El lĂ­mite \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x}\) vale \(0\) ya que el denominador tiende a \(1\) cuando \(x\to 0\) y el numerador es el lĂ­mite de una funciĂ³n que tiende a \(0\) (\(2x\)) por una funciĂ³n acotada (\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)).

Ejemplo

El lĂ­mite anterior no existe ya que si consideramos la sucesiĂ³n \(x_n=\frac{1}{2\pi n}\longrightarrow 0\), si \(n\to\infty\), el lĂ­mite de la sucesiĂ³n \(\frac{\cos\left(\frac{1}{x_n}\right)}{\cos x_n}\) vale: \[ -\lim_{n\to\infty}\frac{\cos (2\pi n)}{\cos\left(\frac{1}{2\pi n}\right)}=-1. \] En cambio, si consideramos la sucesiĂ³n \(y_n =\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\longrightarrow 0\), si \(n\to\infty\), el lĂ­mite de la sucesiĂ³n \(\frac{\cos\left(\frac{1}{y_n}\right)}{\cos y_n}\) vale: \[ -\lim_{n\to\infty}\frac{\cos \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)}{\cos\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\right)}=0. \]

Ejemplo

A continuaciĂ³n estarĂ­amos tentados a decir que nuestro lĂ­mite inicial \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x}\) no existe pero esto es falso ya que: \[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x}= \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}\cdot \lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=1\cdot 0=0! \] El primer lĂ­mite \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}\) vale \(1\) ya que vimos en su momento que \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\), por tanto, si hacemos el lĂ­mite de su recĂ­proco tambiĂ©n serĂ¡ \(1\): \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1\).

El segundo lĂ­mite \(\displaystyle \lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) vale \(0\) ya que es el lĂ­mite de una funciĂ³n que tiende a \(0\) (\(x\)) por una funciĂ³n acotada (\(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)).

Ejemplo

En resumen, que no exista el límite una vez aplicada la regla de l’Hôpital no significa que no exista el límite inicial que nos hemos planteado.

El lĂ­mite anterior en Wolfram Alpha se muestra en el enlace siguiente:

FĂ³rmula de Taylor

IntroducciĂ³n

La idea fundamental de la fĂ³rmula de Taylor es aproximar localmente una funciĂ³n en un entorno de un valor determinado por las funciones mĂ¡s sencillas que se conocen, los polinomios.

Dicho de manera mĂ¡s explĂ­cita, consideremos una funciĂ³n \(f:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) que se puede derivar hasta un cierto orden, pongamos \(n+1\), para un cierto valor \(n\) natural, y sea \(x_0\in (a,b)\) un valor del interior del dominio de \(f\). Queremos hallar un polinomio \(P_n(x)\) tal que se verifique que \(f\) y \(P_n\) sean “iguales” en \(x_0\) hasta orden \(n\): \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)^n} =0,\mbox{ para }m=0,1,\ldots,n. \]

IntroducciĂ³n

La condiciĂ³n anterior para \(m=0\) es la siguiente: \[ \lim_{x\to x_0}f(x)-P_n(x) =0,\ \Rightarrow P_n(x_0)=f(x_0), \] es decir, la funciĂ³n y el polinomio a hallar deben coincidir en el valor \(x_0\).

IntroducciĂ³n

La condiciĂ³n anterior para \(m=1\) es la siguiente: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)} =0,\ \Rightarrow P_n'(x_0)=f'(x_0), \] es decir, la derivada de la funciĂ³n y el polinomio a hallar deben coincidir en el valor \(x_0\) ya que si aplicamos la regla de L’HĂ´pital (el lĂ­mite es indeterminado de la forma \(\frac{0}{0}\) ya que recordemos que \(P_n(x_0)=f(x_0)\)): \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-P_n'(x)}{(x-x_0)}=0, \] y el numerador debe ser \(0\) para \(x=x_0\) ya que en caso contrario el lĂ­mite anterior serĂ­a de la forma \(\frac{f'(x_0)-P_n'(x_0)}{0}=\infty\), al ser el numerador diferente de \(0\).

IntroducciĂ³n

En general, la condiciĂ³n para \(m\) entre \(0\) y \(n\) es la siguiente: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)^m} =0,\ \Rightarrow P_n^{(m)}(x_0)=f^{(m)}(x_0), \] es decir, la derivada \(m\)-Ă©sima de la funciĂ³n y el polinomio a hallar deben coincidir en el valor \(x_0\) ya que si aplicamos la regla de L’HĂ´pital \(m\) veces (el lĂ­mite es indeterminado de la forma \(\frac{0}{0}\) ya que recordemos que \(P_n^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0)\) para los \(i\) anteriores desde \(0\) hasta \(m-1\)): \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-P_n(x)}{(x-x_0)^m} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-P_n(x)}{m (x-x_0)^{m-1}}=\cdots = \lim_{x\to x_0}\frac{f^{(m)}(x)-P_n^{(m)}(x)}{m! (x-x_0)}=0, \]

IntroducciĂ³n

y el numerador debe ser \(0\) para \(x=x_0\) ya que en caso contrario el lĂ­mite anterior serĂ­a de la forma \(\frac{f^{(m)}(x_0)-P_n^{(m)}(x_0)}{0}=\infty\), al ser el numerador diferente de \(0\).

Importante:

Las condiciones que debe verificar el polinomio \(P_n(x)\) para aproximar la funciĂ³n \(f(x)\) hasta orden \(n\) en un entorno del punto \(x_0\) son las siguientes: \[ P_n^{(m)}(x_0)=f^{(m)}(x_0),\mbox{ para }m=0,\ldots,n. \] En este caso decimos que el polinomio \(P_n(x)\) tiene en el punto \(x_0\) orden de contacto con \(f\) superior a \(n\).

IntroducciĂ³n

Ejemplo ilustrativo

En el enlace siguiente se muestra la funciĂ³n \(f(x)=\sin x\) (en rojo) y los polinomios de grado \(1\), \(P_1(x)\) (la recta en azul discontinua), de grado \(3\), \(P_3(x)\) (la curva en azul discontinua) para \(x_0=0\). El polinomio \(P_2(x)\) coincide con el polinomio de grado \(1\) en este caso ya que el coeficiente de \(x^2\) vale \(0\) como veremos mĂ¡s adelante.

En la casilla expansion point podéis cambiar el valor \(x_0\). Intentad escribir pi/2 y pi y observad qué ocurre.

Si clicĂ¡is en la casilla More terms en la parte de arriba del grĂ¡fico verĂ©is los polinomios de grado \(5\), \(P_5(x)\) y de grado \(7\), \(P_7(x)\). Observad cĂ³mo cada vez los polinomios se aproximan mĂ¡s a la funciĂ³n \(f(x)\).

ObservaciĂ³n: la elecciĂ³n del punto \(x_0\) no es arbitraria. Hemos de elegir un valor \(x_0\) del que conozcamos el valor \(f(x_0)\) y las derivadas de cualquier orden en \(x_0\), \(f^{(m)}(x_0)\), \(m=1,2,\ldots\)

IntroducciĂ³n

Ejemplo anterior

En el ejemplo anterior donde recordemos que \(f(x)=\sin x\), debemos elegir un punto \(x_0\) en el cual conozcamos los valores de \(\sin x_0\) y \(\cos x_0\) ya que si conocemos dichos valores, conoceremos \(f(x_0)\) y las derivadas de cualquier orden: \[ f(x_0)=\sin x_0,\ f'(x_0)=\cos x_0,\ f''(x_0)=-\sin x_0,\ f'''(x_0)=-\cos x_0,\ f^{iv}(x_0)=\sin x_0,\ldots \] Algunos valores \(x_0\) elegibles en este caso son los siguientes: \(x_0=0,\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\pi\) ya que conocemos el valor de \(\sin (x_0)\) y \(\cos(x_0)\) tal como se observa en la tabla siguiente:

\(x_0\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\pi\)
\(\sin(x_0)\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\) \(0\)
\(\cos(x_0)\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\) \(-1\)

CĂ¡lculo del polinomio de Taylor

El resultado siguiente nos da una expresiĂ³n del polinomio de Taylor:

Teorema. ExpresiĂ³n del polinomio de Taylor o la expansiĂ³n de Taylor. Sea \(n\) un valor natural. Sea \(f:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto interior del dominio de \(f\). Supongamos que \(f\) es derivable \(n+1\) veces en \(x_0\). Entonces el polinomio de Taylor de grado \(n\) con orden de contacto con \(f\) superior a \(n\) en \(x_0\) es el siguiente: \[ \begin{array}{rl} P_n(x) = & f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0)^2+\cdots +\\ & +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n. \end{array} \]

CĂ¡lculo del polinomio de Taylor

Contenido bastante técnico.

DemostraciĂ³n

Vamos a demostrar la fĂ³rmula anterior por inducciĂ³n sobre \(n\).

Para \(n=0\), \(P_0(x)=f(x_0)\), que por definiciĂ³n es el polinomio de Taylor de grado \(0\) o constante.

Suponemos cierto para \(n\), es decir suponemos que: \[ P_n(x) = f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n. \] Hemos de demostrar que: \[ \begin{array}{rl} P_{n+1}(x) = & f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0)^2+\cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n+\\ & +\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1} = P_n(x)+\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}. \end{array} \]

CĂ¡lculo del polinomio de Taylor

Por hipĂ³tesis de inducciĂ³n, sabemos que: \(P_n^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0)\), para \(i=0,\ldots,n\) ya que recordemos que \(P_n(x)\) es el polinomio de Taylor de grado \(n\).

Para verificar que \(P_{n+1}(x)\) correspondiente a la expresiĂ³n anterior es el polinomio de Taylor de grado \(n+1\), hay que verificar las condiciones siguientes: \(P_{n+1}^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0)\), para \(i=0,\ldots,n+1\).

Si \(i\) estĂ¡ entre \(0\) y \(n\), tenemos que: \[ P_{n+1}^{(i)}(x)=P_{n}^{(i)}(x)+(n+1)\cdots (n+2-i)\cdot\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1-i}. \] Si evaluamos la expresiĂ³n anterior en \(x=x_0\), obtenemos: \[ P_{n+1}^{(i)}(x_0)=P_{n}^{(i)}(x_0)+(n+1)\cdots (n+2-i)\cdot\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}\cdot (x_0-x_0)^{n+1-i} = P_n^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0), \] ya que \(n+1-i>0\) por lo que el segundo sumando serĂ¡ nulo y la Ăºltima igualdad es cierta por hipĂ³tesis de inducciĂ³n.

CĂ¡lculo del polinomio de Taylor

SĂ³lo falta demostrar el caso \(i=n+1\). Si hacemos la derivada \(n+1\)-Ă©sima del polinomio \(P_{n+1}(x)\) obtenemos: \[ P_{n+1}^{(n+1)}(x)=P_n^{(n+1)}(x)+f^{(n+1)}(x_0) = f^{(n+1)}(x_0), \] ya que \(P_n^{(n+1)}(x)=0\) al ser \(P_n(x)\) un polinomio de grado \(n\) y por tanto la derivada \(n+1\)-Ă©sima del mismo serĂ¡ 0.

Concluimos por tanto que la derivada \(n+1\)-Ă©sima del polinomio \(P_{n+1}(x)\) serĂ¡ la constante \(f^{(n+1)}(x_0)\) y, en particular, se cumplirĂ¡ que \(P_{n+1}^{(n+1)}(x_0)=f^{(n+1)}(x_0)\), tal como querĂ­amos demostrar.

Ejemplo

Ejemplo

Consideremos la funciĂ³n \(f(x)=\sin (x)\) y el punto \(x_0=0\). Vamos a hallar el polinomio de Taylor de grado \(n\) de \(f(x)\) en \(x_0=0\).

Lo primero que hemos de calcular a la vista de la expresiĂ³n vista en el teorema anterior que nos da la expresiĂ³n del polinomio de Taylor es el valor de la funciĂ³n en \(x_0\), \(f(x_0)\) y el valor de las derivadas de \(f\) en \(x_0\), \(f^{(m)}(x_0)\), para \(m=1,2,\ldots\)

Los valores de \(f^{(m)}(0)\) valen lo siguiente: \[ f(0)=\sin 0=0,\ f'(0)=\cos 0=1,\ f''(0)=-\sin 0=0,\ f'''(0)=-\cos 0 =-1,\ f^{(iv)}(0)=\sin 0 =0, \ldots \] A partir de los cĂ¡lculos anteriores podemos deducir que \(f^{(n)}(0)=0\), si \(n\) es par y \(f^{(n)}(0)=\pm 1\), si \(n\) es impar y valdrĂ¡ \(1\) si \(n=1,5,9,\ldots\) y \(-1\) si \(n=3,7,11,\ldots\)

Intentemos escribir el resultado anterior de forma mĂ¡s “compacta”. Decir que \(n\) es par es equivalente a decir que existe un valor \(k\) natural tal que \(n=2k\) y decir que \(n\) es impar es equivalente a decir que existe un valor \(k\) natural tal que \(n=2k+1\). Por tanto, las condiciones anteriores se pueden escribir como: \(f^{(2k)}(0)=0\), \(f^{(2k+1)}(0)=\pm 1\).

Ejemplo

Observemos ademĂ¡s que los valores de \(n\) para los que la derivada \(n\)-Ă©sima valĂ­a \(1\), (\(n=1,5,9,\ldots\)) corresponde a valores de \(k\) par ya que \(1=2\cdot 0+1,\ 5=2\cdot 2+1,\ 9=2\cdot 4+1,\ldots\) y los valores de \(n\) para los que la derivada \(n\)-Ă©sima valĂ­a \(-1\) (\(n=3,7,11,\ldots\)) corresponde a valores de \(k\) impar ya que \(3=2\cdot 1+1,\ 7=2\cdot 3+1,\ 11=2\cdot 5+1,\ldots\)

Por tanto, la condiciĂ³n \(f^{(2k+1)}(0)=\pm 1\) puede escribirse como \(f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k\) ya que la expresiĂ³n \((-1)^k\) da \(1\) para los \(k\) pares y \(-1\), para los \(k\) impares.

En resumen, tenemos lo siguiente: \(f^{(2k)}(0)=0\), \(f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k\), para \(k=0,1,2,3,\ldots\)

Sea \(n\) un natural. Consideremos dos casos:

  • \(n\) par. En este caso, el polinomio de Taylor de grado \(n\) es el siguiente: \[ P_n(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2!}\cdot x^2+\cdots + \frac{f^{n}(0)}{n!}\cdot x^n. \] Observemos que el Ăºltimo tĂ©rmino del polinomio anterior serĂ¡ \(0\) ya que hemos dicho que \(f^{(n)}(0)=0\) para \(n\) par. Entonces el polinomio \(P_n(x)\) se puede escribir como: \[ P_n(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2!}\cdot x^2+\cdots + \frac{f^{n-1}(0)}{(n-1)!}\cdot x^{n-1}. \]

Ejemplo

Si eliminamos los tĂ©rminos correspondientes a derivadas pares al ser nulos, nos queda la expresiĂ³n siguiente: \[ P_n(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots + \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i x^{2i+1}}{(2i+1)!}, \] donde \(k\) es tal que \(n-1=2k+1\), o, lo que es lo mismo, \(k=\frac{n-2}{2}\).

Consideremos por ejemplo \(n=14\), en este caso \(k=\frac{14-2}{2}=6\). El polinomio de Taylor de \(f(x)=\sin x\) de grado \(14\) en \(x_0=0\) es el siguiente: \[ \begin{array}{rl} P_{14}(x) & =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\frac{x^{13}}{13!},\\ & = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+\frac{x^9}{362880}-\frac{x^{11}}{39916800}+\frac{x^{13}}{6227020800}. \end{array} \]

Ejemplo

  • \(n\) impar. En este caso, el polinomio de Taylor de grado \(n\) es el siguiente: \[ P_n(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2!}\cdot x^2+\cdots + \frac{f^{n}(0)}{n!}\cdot x^n. \] Si eliminamos los tĂ©rminos correspondientes a derivadas pares al ser nulos, nos queda la expresiĂ³n siguiente: \[ P_n(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots + \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i x^{2i+1}}{(2i+1)!}, \] donde \(k\) es tal que \(n=2k+1\), o, lo que es lo mismo, \(k=\frac{n-1}{2}\). Consideremos por ejemplo \(n=11\), en este caso \(k=\frac{11-1}{2}=5\). El polinomio de Taylor de \(f(x)=\sin x\) de grado \(11\) en \(x_0=0\) es el siguiente: \[ P_{11}(x) =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!} = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+\frac{x^9}{362880}-\frac{x^{11}}{39916800}. \] Si vĂ¡is al enlace siguiente y apretĂ¡is una vez la casilla More terms en la secciĂ³n Series expansion at x=0 os aparecerĂ¡ el polinomio de Taylor de grado 11 y si volvĂ©is a apretar, os aparecerĂ¡ el polinomio de Taylor de grado 19 que “incluye” el polinomio de Taylor de grado 14.

Desarrollos de MacLaurin

Ejercicio

Hallar el polinomio de Taylor de grado \(n\) para la misma funciĂ³n que el ejemplo anterior en el punto \(x_0=\frac{\pi}{2}\).

DefiniciĂ³n. Dada una funciĂ³n \(f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\), \(n+1\) veces derivable y dado \(x_0\in (a,b)\) un punto interior del dominio de \(f\), sea \(P_n(x)\) el polinomio de Taylor de grado \(n\) en \(x_0=0\). Dicho polinomio se denomina polinomio o expansiĂ³n de MacLaurin de grado \(n\) de \(f\) .

En el ejemplo anterior, hemos hallado el polinomio de MacLaurin de grado \(n\) de la funciĂ³n \(f(x)=\sin x\).

Error en el polinomio de Taylor

Una vez conocido cĂ³mo hallar el polinomio de Taylor de una funciĂ³n \(f(x)\) en un punto \(x_0\) de su dominio, podemos usar dicho polinomio o dicha expansiĂ³n para aproximar el valor de dicha funciĂ³n \(f(x)\) para valores \(x\) cercanos a \(x_0\).

Ahora bien, si no tenemos manera de estimar o calcular alguna cota del error que estamos cometiendo, dicha aproximaciĂ³n no tiene ningĂºn sentido ya que serĂ­a como “ir a ciegas”, es decir, no sabemos hasta quĂ© punto el valor \(P_n(x)\) aproxima bien o no el valor de \(f(x)\).

El siguiente resultado nos da una expresiĂ³n que permite acotar el error cometido usando el polinomio de Taylor.

Error en el polinomio de Taylor

Teorema. Error en la fĂ³rmula de Taylor. Sea \(f\) una funciĂ³n \(f:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}\), sea \(x_0\in (a,b)\) un punto interior del dominio de \(f\) y supongamos que \(f\) es \(n+1\) veces derivable en un entorno de \(x_0\). Sea \(P_n(x)\) el polinomio de Taylor de grado \(n\) en \(x_0\). Entonces si \(x\) es un punto del entorno anterior de \(x_0\), se verifica: \[ f(x)-P_n(x)=\frac{f^{n+1}(c)}{m\cdot n!}\cdot (x-c)^{n-m+1}\cdot (x-x_0)^m, \] donde \(c\) es un punto que estĂ¡ situado entre \(x_0\) y \(x\) (o entre \(x\) y \(x_0\), dependiendo de cuĂ¡l de los dos valores es el menor y el mayor) y se denota por \(x\in <x_0,x>\) y \(m\) es un natural entre \(1\) y \(n+1\). Dicha expresiĂ³n es conocida por resto de Cauchy.

Error en el polinomio de Taylor

ObservaciĂ³n: a la expresiĂ³n \(f(x)-P_n(x)\) se le denota por \(R_n(x-x_0)\), \(R\) de resto.

Corolario. En las condiciones del teorema anterior, considerando \(m=n+1\), tenemos la expresiĂ³n siguiente conocida como resto de Lagrange: \[ f(x)-P_n(x)=\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}. \]

Esta es la expresiĂ³n mĂ¡s conocida de la expresiĂ³n del error del polinomio de Taylor de grado \(n\).

Error en el polinomio de Taylor

Contenido muy técnico.

DemostraciĂ³n

Sea \(x\in (a,b)\) un valor del interior del entorno de \(x_0\) donde \(f\) es \(n+1\) veces derivable. Fijado dicho valor de \(x\), se considera la funciĂ³n siguiente que depende de la variable \(t\): \[ F(t)=f(t)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}\cdot (x-t)^k. \] Dicha funciĂ³n \(F(t)\) es continua y derivable en el intervalo \(<x_0,x>\) (recordemos que dicha expresiĂ³n vale \((x_0,x)\), si \(x>x_0\) y \((x,x_0)\) si \(x<x_0\)) ya que es suma de productos de continuas y derivables: pensad que \(f\) es derivable por hipĂ³tesis, \(f^{(k)}\) serĂ¡ derivable ya que \(k\leq n\) y por ser \(f\) derivable \(n+1\) veces por hipĂ³tesis y la funciĂ³n \((x-t)^k\) serĂ¡ derivable al ser un polinomio en \(t\).

Error en el polinomio de Taylor

Hallemos el valor de la derivada de \(F\), \(F'(t)\): \[ \begin{array}{rl} F'(t) = & \displaystyle f'(t)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}\cdot (x-t)^k -\sum_{k=1}^n k\cdot \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^{k-1} \\ = &\displaystyle f'(t)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}\cdot (x-t)^k -\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}\\ = & f'(t)+\frac{f''(t)}{1!}\cdot (x-t)+\frac{f'''(t)}{2!}\cdot (x-t)^2+\cdots+ \frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}\cdot (x-t)^{n-1} + \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\cdot (x-t)^n\\ & -\left(f'(t)+\frac{f''(t)}{1!}\cdot (x-t)+\frac{f'''(t)}{2!}\cdot (x-t)^2 +\cdots + \frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}\cdot (x-t)^{n-1} \right) = \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\cdot (x-t)^n. \end{array} \] Consideremos ahora una funciĂ³n \(G\) cualquiera continua en el intervalo \(<x_0,x>\) cerrado y diferenciable en el mismo intervalo anterior pero abierto tal que \(G'(t)\neq 0\) para todo \(t\in <x_0,x>\) y \(G(x_0)\neq G(x)\).

Si aplicamos el Teorema del valor medio de Cauchy al intervalo \(<x_0,x>\) a las funciones \(F\) y \(G\), tenemos que existe un valor \(c\in <x_0,x>\) tal que: \[ G'(c)\cdot (F(x)-F(x_0))=F'(c)\cdot (G(x)-G(x_0)). \]

Error en el polinomio de Taylor

El valor de \(F(x)-F(x_0)\) es precisamente el error que cometemos al aproximar \(f(x)\) por el polinomio de Taylor de grado \(n\), \(P_n(x)\) ya que: \[ F(x)-F(x_0)=f(t)-\left(f(x_0)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k\right)=f(x)-P_n(x). \] Usando la expresiĂ³n deducida del Teorema del valor medio de Cauchy, podemos escribir que: \[ F(x)-F(x_0)=f(x)-P_n(x)=R_n(x-x_0)=\frac{F'(c)}{G'(c)}\cdot (G(x)-G(x_0)). \] Diferentes expresiones del error se obtienen eligiendo \(G\) de una determinada forma:

  • Si \(G(t)=(x-t)^{n+1}\), tenemos que \(G'(t)=-(n+1)\cdot (x-t)^n\) y, por tanto: \[ \begin{array}{rl} R_n(x-x_0) & =\frac{F'(c)}{G'(c)}\cdot (G(x)-G(x_0))=\frac{\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}\cdot (x-c)^n}{-(n+1)\cdot (x-c)^n}\cdot \left(-(x-x_0)^{n+1}\right)\\ & =\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}. \end{array} \]

Error en el polinomio de Taylor

  • Si \(G(t)=(x-t)^{m}\), con \(m\) natural entre \(1\) y \(n+1\), tenemos que \(G'(t)=-m\cdot (x-t)^{m-1}\) y, por tanto: \[ \begin{array}{rl} R_n(x-x_0) & =\frac{F'(c)}{G'(c)}\cdot (G(x)-G(x_0))=\frac{\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}\cdot (x-c)^n}{-m\cdot (x-c)^{m-1}}\cdot \left(-(x-x_0)^{m}\right)\\ & =\frac{f^{(n+1)}(c)}{m\cdot n!}\cdot (x-c)^{n-m+1}\cdot (x-x_0)^{m}, \end{array} \] tal como querĂ­amos demostrar.

Ejemplo

Ejemplo: cĂ¡lculo aproximado de \(\sin x\)

Vamos a intentar aproximar la funciĂ³n \(f(x)=\sin x\) para un \(x\) prĂ³ximo a \(0\).

Recordemos que el polinomio de Taylor (de hecho, el de MacLaurin) de la funciĂ³n \(f(x)\) de grado \(n\) es el siguiente: \[ P_n(x)=\sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i x^{2i+1}}{(2i+1)!}, \] con \(k=\frac{n-2}{2}\), si \(n\) es par y \(k=\frac{n-1}{2}\), si \(n\) es impar.

El problema que nos planteamos es el siguiente: dado \(x\) y \(\mathrm{error}\) un error absoluto mĂ¡ximo que estamos dispuestos a cometer, calcular el valor de \(P_n(x)\) tal que \(|f(x)-P_n(x)=|\sin x-P_n(x)|\leq \mathrm{error}\).

El primer paso es calcular el valor de \(n\). Nos fijamos a partir de la expresiĂ³n de \(P_n(x)\) que si \(n\) es par el grado del polinomio de MacLaurin tiene grado \(n-1\) ya que la potencia mĂ¡s alta de \(x\), \(2k+1\) vale \(2k+1=n-1\).

Supondremos que \(n\) es par ya que tiene un término menos que si \(n\) es impar y esto es una ventaja a la hora de computar \(P_n(x)\).

Ejemplo

El error cometido \(R_n(x)\) usando el teorema anterior vale: (usaremos la fĂ³rmula de Lagrange) \[ f(x)-P_n(x)=R_n(x)=\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}. \] Dicho error se puede acotar por: \[ |f(x)-P_n(x)|=|R_n(x)|=\left|\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}\right|\leq \max_{c\in <0,x>}\left|f^{n+1}(c)\right|\cdot \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}. \] Al ser \(n\) par, \(|f^{n+1}(c)|=|\cos c|\) ya que \(n+1\) es impar y recordemos que cualquier derivada impar era \(\pm \cos c\). Por tanto, podemos acotar \(\displaystyle \max_{c\in <0,x>}\left|f^{n+1}(c)\right|\) por \(1\): \(\displaystyle\max_{c\in <0,x>}\left|f^{n+1}(c)\right|\leq 1\) y la cota del error serĂ¡: \[ |f(x)-P_n(x)|=|R_n(x)|\leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}. \] La \(n\) buscada debe verificar: \(\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\leq \mathrm{error}\).

Ejemplo

Como para cualquier valor de \(x\) el lĂ­mite \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}=0\), seguro que existe una \(n\) tal que \(\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\leq \mathrm{error}\).

La funciĂ³n siguiente nos calcula la \(n\) dado \(x\) y el error en python asegurĂ¡ndose que \(n\) es par:

import math
def n(x,error):
 x=float(x)
 m=2
 while(abs(x)**(m+1)/math.factorial(m+1) >=error):
   m=m+1
 if(m % 2==1):
   m=m+1
 return(m)

Ejemplo

El valor de \(n\) para \(x=0.5\) con un error mĂ¡ximo permitido de \(0.0001\) serĂ¡:

n(0.5,0.0001)
## 6

El polinomio de Taylor serĂ­a en este caso: \[ P_6(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}. \] El valor de \(P_6(0.5)\) vale:

x=0.5
x-x**3/math.factorial(3)+x**5/math.factorial(5)
## 0.47942708333333334

Ejemplo

Sabemos que el valor anterior evalĂºa \(\sin 0.5\) con un error menor que \(0.0001\). ComprobĂ©moslo en python:

valor_pol_taylor = x-x**3/math.factorial(3)+x**5/math.factorial(5)
abs(sin(0.5)-valor_pol_taylor)
## 1.5447291303316568e-06

Ejemplo

Ejemplo: cĂ¡lculo de \(\mathrm{e}\)

Vamos a calcular \(\mathrm{e}\) con 6 cifras decimales exactas.

Para ello vamos a calcular el polinomio de Taylor de la funciĂ³n \(f(x)=\mathrm{e}^x\) para \(x_0=0\), \(P_n(x)\) y aproximaremos \(f(1)=\mathrm{e}\) por \(P_n(1)\) cometiendo un error menor que \(0.000001\).

Para calcular el polinomio de Taylor de \(f(x)=\mathrm{e}^x\), hemos de calcular \(f^{k}(x)\) para cualquier valor \(k\) natural. En este caso, observamos que \(f^{(k)}(x)=\mathrm{e}^x\) siempre vale lo mismo. Por tanto: \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^k = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}, \] ya que \(f^{(k)}(0)=\mathrm{e}^0=1.\)

Seguidamente vamos a calcular el valor que \(n\) que nos asegure que el error cometido para \(x=1\) usando la expresiĂ³n anterior \(P_n(1)\) en lugar de \(f(1)=\mathrm{e}\) es menor que \(e=0.000001\).

Ejemplo

Recordemos la expresiĂ³n de la fĂ³rmula del error: \[ |f(x)-P_n(x)|=|R_n(x)|=\left|\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}\right|\leq \max_{c\in <0,x>}\left|f^{n+1}(c)\right|\cdot \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}. \] La expresiĂ³n anterior para \(x=1\) vale: \[ \begin{array}{rl} |f(1)-P_n(1)| & =|R_n(1)|=\left|\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\cdot 1^{n+1}\right|\leq \max_{c\in (0,1)}\left|f^{n+1}(c)\right|\cdot \frac{1}{(n+1)!}=\max_{c\in (0,1)}\mathrm{e}^c\cdot \frac{1}{(n+1)!}\\ & =\frac{\mathrm{e}}{(n+1)!}. \end{array} \] En la Ăºltima igualdad hemos usado que la funciĂ³n \(f(x)=\mathrm{e}^x\) es creciente y por tanto \(\displaystyle\max_{c\in (0,1)}\mathrm{e}^c=\mathrm{e}^1=\mathrm{e}\).

Vemos que la cota del error depende del valor de \(\mathrm{e}\) que es precisamente el valor que queremos calcular.

No sabemos el valor exacto de \(\mathrm{e}\) pero podemos usar que es menor que \(3\): \(\mathrm{e}<3\).

La cota anterior serĂ¡, pues: \[ |f(1)-P_n(1)|=|R_n(1)|=\frac{\mathrm{e}}{(n+1)!}<\frac{3}{(n+1)!}. \]

Ejemplo

La funciĂ³n siguiente nos calcula la \(n\) dado el error en python:

def ne(error):
 m=2
 while(3./math.factorial(m+1) >=error):
   m=m+1
 return(m)

El valor de \(n\) para un error de \(0.000001\) vale:

ne(0.000001)
## 9

Ejemplo

El valor de \(\mathrm{e}\) con 6 cifras decimales exactas serĂ¡: \[ \mathrm{e}\approx 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}+\frac{1}{9!}. \] Si calculamos su valor en python, obtenemos:

valor_e_aproximado =1
for i in range(1,10):
  valor_e_aproximado=valor_e_aproximado+1./math.factorial(i)
valor_e_aproximado
## 2.7182815255731922

Comprobamos que efectivamente tiene 6 cifras decimales exactas:

math.exp(1)
## 2.718281828459045

Ejemplo

Ejemplo: generalizaciĂ³n del binomio de Newton

Recordemos la fĂ³rmula del binomio de Newton: dados \(x,y\in\mathbb{R}\) y un natural \(N\), podemos desarrollar la potencia \((x+y)^N\) como: \[ (x+y)^N = \sum_{k=0}^N \binom{N}{k}\cdot x^k\cdot y^{N-k}. \] Sea ahora la funciĂ³n \(f(x)=(x+C)^N\), donde \(C\) es una constante cualquiera. Sea \(x_0\) un valor real. Queremos hallar el polinomio de Taylor de la funciĂ³n anterior alrededor de \(x=x_0\).

Usando la fĂ³rmula del binomio de Newton anterior, el polinomio de Taylor de \(f(x)\) de grado \(N\) alrededor del valor \(x=x_0\) es relativamente sencillo de obtener: \[ \begin{array}{rl} f(x)=(x+C)^N & \displaystyle =((x-x_0)+(C+x_0))=\sum_{k=0}^N \binom{N}{k}\cdot (x-x_0)^k\cdot (C+x_0)^{N-k}\\ & =\displaystyle \sum_{k=0}^N \binom{N}{k}\cdot (C+x_0)^{N-k}\cdot (x-x_0)^k. \end{array} \]

Ejemplo

Observad que el desarrollo anterior no tiene error ya que la expresiĂ³n de la izquierda es un polinomio de grado \(N\). Otra manera de verlo es usar la expresiĂ³n de la fĂ³rmula del error: \[ f(x)-P_N(x)=R_N(x-x_0)=\frac{f^{N+1}(c)}{(N+1)!}\cdot (x-x_0)^{N+1}. \] Ahora bien, como \(f(x)\) es un polinomio de grado \(N\), la derivada \(N+1\)-Ă©sima en cualquier valor serĂ¡ \(0\) (\(f^{N+1}(c)=0\)) y, por tanto, \(R_N(x-x_0)=0\).

Podemos hallar en particular una expresiĂ³n para \(f^{(k)}(x_0)\): \[ \begin{array}{rl} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} & =\binom{N}{k}\cdot (C+x_0)^{N-k},\\ f^{(k)}(x_0) & =\binom{N}{k}\cdot k!\cdot (C+x_0)^{N-k} = N\cdot (N-1)\cdots (N-k+1)\cdot (C+x_0)^{N-k}. \end{array} \]

Ejemplo

Supongamos ahora que “generalizamos” la funciĂ³n \(f\) de la forma siguiente \(f(x)=(x+C)^\alpha\), donde \(\alpha\) no tiene por quĂ© ser entero sino cualquier valor real. Sea \(x_0\) un valor real que supondremos distinto de \(-C\) para no tener problemas en caso en que \(\alpha <0\) ya que en este caso \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}(x+C)^\alpha = \lim_{x\to x_0} 0^\alpha =\lim_{x\to x_0}\frac{1}{0^{-\alpha}}=\frac{1}{0}=\infty\).

¿CuĂ¡l serĂ­a el polinomio de Taylor de grado \(n\) para dicha funciĂ³n \(f(x)\) en \(x=x_0\)?

EstarĂ­amos tentados de generalizar la fĂ³rmula anterior de la forma siguiente: \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom{\alpha}{k}\cdot (C+x_0)^{\alpha -k}\cdot (x-x_0)^k, \] pero ¿quĂ© vale \(\binom{\alpha}{k}\)?. Pensad que sabemos calcular \(\binom{N}{k}\) si \(N\) es natural pero ahora “nuestra” \(N\) es \(\alpha\) y es un valor real cualquiera.

Como \(\binom{N}{k}\) se puede escribir como \(\binom{N}{k}=\frac{N\cdot (N-1)\cdots (N-k+1)}{k!}\), podrĂ­amos generalizar \(\binom{\alpha}{k}\) como \(\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}\) y la expresiĂ³n anterior ya tendrĂ­a sentido.

De acuerdo, todo lo escrito hasta ahora estĂ¡ muy bien, pero ¿es cierta la fĂ³rmula anterior?

Ejemplo

Veamos que sĂ­, que la fĂ³rmula anterior es cierta.

Primero calculemos las derivadas sucesivas de \(f(x)=(x+C)^\alpha\): \[ f'(x)=\alpha\cdot (x+C)^{\alpha-1},\ f''(x)=\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot (x+C)^{\alpha-2},\ f'''(x)=\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot (\alpha-2)\cdot (x+C)^{\alpha-3}, \] y, en general: \[ f^{(k)}(x)=\alpha\cdot (\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)\cdot (x+C)^{\alpha-k}. \] Si evaluamos en \(x=x_0\) obtenemos: \[ f^{(k)}(x_0)=\alpha\cdot (\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)\cdot (x_0+C)^{\alpha-k}=\binom{\alpha}{k}\cdot k!\cdot (x_0+C)^{\alpha-k}. \]

Ejemplo

El polinomio de Taylor de grado \(n\) de \(f(x)\) en \(x=x_0\) serĂ¡: \[ \begin{array}{rl} P_n(x) & \displaystyle =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k = \sum_{k=0}^n\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}\cdot (x_0+C)^{\alpha-k}\cdot (x-x_0)^k \\ & \displaystyle = \sum_{k=0}^n \binom{\alpha}{k}\cdot (x_0+C)^{\alpha-k}\cdot (x-x_0)^k, \end{array} \] tal como querĂ­amos ver.

El error cometido serĂ¡: \[ R_n(x-x_0)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}=\binom{\alpha}{n+1}\cdot (c+C)^{\alpha-n-1}\cdot (x-x_0)^{n+1} \] donde \(c\in <x_0,x>\).

Ejemplo

Como aplicaciĂ³n, calculemos el polinomio de Taylor de la funciĂ³n \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}\) para \(x_0=2\).

En este caso \(\alpha = -\frac{1}{2}\) y \(C=1\).

Los valores de \(\binom{-\frac{1}{2}}{k}\) son los siguientes: \[ \binom{-\frac{1}{2}}{k} = \frac{-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}-1\right)\cdots \left(-\frac{1}{2}-k+1\right)}{k!}=\frac{-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\cdots \left(-\frac{(2k-1)}{2}\right)}{k!}=\frac{(-1)^k\cdot (2k-1)!!}{2^k\cdot k!}. \] El polinomio de Taylor de grado \(n\) para \(f(x)\) en \(x_0=2\) serĂ¡: \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k\cdot (2k-1)!!}{2^k\cdot k!}\cdot 3^{-\frac{1}{2}-k}\cdot (x-2)^k=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k\cdot (2k-1)!!}{2^k\cdot \sqrt{3^{2k+1}}\cdot k!}\cdot (x-2)^k. \] El error cometido serĂ¡: \[ R_n(x-2)=\binom{-\frac{1}{2}}{n+1}\cdot (1+c)^{-\frac{1}{2}-n-1}\cdot (x-2)^{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}\cdot (2n+1)!!}{2^{n+1}\cdot \sqrt{(1+c)^{2n+3}}\cdot (n+1)!}\cdot (x-2)^{n+1}. \]

Ejemplo

Si suponemos que \(x>2\), usando que \(c\in (2,x)\), y, por tanto, \(\frac{1}{1+c}\leq \frac{1}{3}\), podemos acotar el error cometido por: \[ |R_n(x-2)|\leq\frac{(2n+1)!!}{2^{n+1}\cdot \sqrt{3^{2n+3}}\cdot (n+1)!}\cdot (x-2)^{n+1}. \] Consideremos \(x=2.25\). Calculemos el valor de \(n\) para calcular \(f(2.25)\) con un error menor que \(0.000001\):

def doublefactorial(n):
  if n in (0, 1):
    return 1
  else:
    return n * doublefactorial(n-2)

Ejemplo

def calculo_n(error):
  x=2.25
  m=2
  cota_error=(doublefactorial(2*m+1)/(2.**(m+1)*math.sqrt(3.)**(2*m+3)*
    math.factorial(m+1)))*(x-2)**(m+1) 
  while(cota_error >= error):
    m=m+1
    cota_error=(doublefactorial(2*m+1)/(2.**(m+1)*math.sqrt(3.)**(2*m+3)*
      math.factorial(m+1)))*(x-2)**(m+1) 
  return(m)

El valor del grado \(n\) del polinomio de Taylor serĂ¡:

calculo_n(0.000001)
## 4

Ejemplo

El polinomio de Taylor serĂ¡: \[ P_4(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{6 \sqrt{3}}\cdot (x-2)+\frac{1}{24\sqrt{3}}\cdot (x-2)^2-\frac{5}{432\sqrt{3}}\cdot (x-2)^3+\frac{35}{10368\sqrt{3}}\cdot (x-2)^4. \] Calculemos el valor de \(P_4(2.25)\):

coeficientes=[1.,-1./6,1./24,-5./432,35./10368]
coeficientes=[(1./math.sqrt(3.))*c for c in coeficientes]
x=2.25
y=x-2
potencias=[1,y,y**2,y**3,y**4]
import numpy
numpy.dot(potencias,coeficientes)
## 0.5547007267350142

Ejemplo

Comprobemos que tiene efectivamente 6 cifras decimales exactas:

1/math.sqrt(2.25+1.)
## 0.5547001962252291

Propiedades del desarrollo de Taylor

La proposiciĂ³n siguiente es Ăºtil si queremos hallar el polinomio de Taylor de una funciĂ³n que puede escribirse como suma, producto o cociente de funciones donde es mĂ¡s fĂ¡cil conocer su polinomio de Taylor:

ProposiciĂ³n. Sean \(f\), \(g\) funciones reales de variable real \(f,g:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) definidas en \((a,b)\) y sea \(x_0\in (a,b)\) un punto del interior de su dominio. Sean \(P_n(x)\) y \(Q_n(x)\) los polinomios de Taylor de grado \(n\) de las funciones \(f\) y \(g\), respectivamente en un entorno del punto \(x_0\). Entonces:

  • El polinomio de Taylor de toda funciĂ³n escrita como combinaciĂ³n lineal de \(f\) y \(g\), \(\lambda f+\mu g\), con \(\lambda,\mu\in \mathbb{R}\) constantes reales es \(\lambda P_n(x)+\mu Q_n(x)\).
  • La funciĂ³n producto \(f\cdot g\) admite un polinomio de Taylor en el mismo entorno del punto \(x_0\). Dicho polinomio de Taylor de la funciĂ³n \(f\cdot g\) se calcula realizando el producto de los dos polinomios, \(P_n(x)\cdot Q_n(x)\) y eliminando todos los tĂ©rminos de grado mayor o igual que \(n+1\) en \((x-x_0)\).

Propiedades del desarrollo de Taylor

ProposiciĂ³n (continuaciĂ³n).

  • Si \(g(x_0)\neq 0\), el cociente \(\frac{f}{g}\) admite un polinomio de Taylor en este entorno. Dicho polinomio de Taylor de la funciĂ³n \(\frac{f}{g}\) se calcula de realizar la operaciĂ³n \(\frac{P_n(x)}{Q_n(x)}\), desarrollando esta expresiĂ³n en potencias de \((x-x_0)\) y eliminando todos los tĂ©rminos de grado mayor o igual que \(n+1\).

Ejemplo

Ejemplo

Como ejemplo de aplicaciĂ³n, calculemos el polinomio de Taylor grado \(n\) de la funciĂ³n \(f(x)=\frac{1}{1-x^2}\) en un punto \(x_0\) cualquiera distinto de \(\pm 1\) ya que los valores \(\pm 1\) no pertenecen al dominio de \(f(x)\). Pensad que \(\displaystyle\lim_{x\to\pm 1}f(x)=\lim_{x\to\pm 1}\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{0}=\infty\).

Podemos descomponer la funciĂ³n \(f(x)\) de la forma siguiente: \[ \frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right). \] Para calcular los polinomios de Taylor de las funciones \(f_1(x)=\frac{1}{1-x}\) y \(f_2(x)=\frac{1}{1+x}\) en un punto cualquiera \(x_0\), a los que llamaremos \(P_{1,n}(x)\) y \(P_{2,n}(x)\), respectivamente, podemos usar la tĂ©cnica vista en el ejemplo anterior donde generalizĂ¡bamos la fĂ³rmula de Newton.

Ejemplo

Escribimos \(f_1(x)\) de la forma siguiente: \(f_1(x)=-\frac{1}{x-1}\). Entonces el valor de \(\alpha\) vale \(\alpha=-1\) y \(C=-1\). El polinomio \(P_{1,n}(x)\) serĂ¡ el siguiente: \[ P_{1,n}(x)=-\sum_{k=0}^n\binom{-1}{k}\cdot (x_0-1)^{-1-k}\cdot (x-x_0)^k. \] Calculemos el valor de \(\binom{-1}{k}\): \[ \binom{-1}{k}=\frac{(-1)\cdot (-2)\cdots (-1-k+1)}{k!}=\frac{(-1)^k\cdot k!}{k!}=(-1)^k. \] El valor del polinomio \(P_{1,n}(x)\) serĂ¡ el siguiente: \[ P_{1,n}(x)=-\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(x_0-1)^{k+1}}\cdot (x-x_0)^k. \]

Ejemplo

Usando el mismo razonamiento anterior, podemos obtener el polinomio \(P_{2,n}(x)\) donde \(\alpha =-1\) y \(C=1\): \[ P_{2,n}(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(x_0+1)^{k+1}}\cdot (x-x_0)^k. \] Usando que \(f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)\), el polinomio de Taylor de la funciĂ³n \(f(x)\) en \(x_0\) de grado \(n\) serĂ¡: \[ P_n(x)=\frac{1}{2}\left(P_{1,n}(x)+P_{2,n}(x)\right)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n (-1)^k\left(\frac{1}{(x_0+1)^{k+1}}-\frac{1}{(x_0-1)^{k+1}}\right)\cdot (x-x_0)^k. \]

En el enlace siguiente se muestra el desarrollo de Taylor de la funciĂ³n \(f(x)=\frac{1}{1-x^2}\) hasta orden \(5\), es decir, hasta el polinomio de grado \(5\), \(P_5(x)\). Si apretĂ¡is el botĂ³n More terms en la secciĂ³n Series expansion at x=x0, Mathematica os calcularĂ¡ mĂ¡s tĂ©rminos del desarrollo de Taylor o aumentarĂ¡ el grado del polinomio. Comparad los valores que da el Mathematica con la soluciĂ³n obtenida. En la secciĂ³n Series representation at x = x0 da una expresiĂ³n muy parecida a la obtenida.

Estudio local de una funciĂ³n

IntroducciĂ³n

Dada una funciĂ³n real de variable real \(f\), en esta secciĂ³n vamos a estudiar cĂ³mo podemos representarla grĂ¡ficamente estudiando un conjunto de caracterĂ­sticas de la mismas donde la mayorĂ­a de ellas estĂ¡n basadas en la funciĂ³n derivada.

Antes de realizar dicho estudio necesitamos:

  • estudiar el crecimiento, decrecimento y extremos locales de la funciĂ³n \(f\) en el caso general, es decir, estudiando las derivadas de orden superior y,
  • estudiar la concavidad y la convexidad de la funciĂ³n \(f\) que definiremos mĂ¡s adelante.

Estudio del crecimiento y extremos de una funciĂ³n

El teorema siguiente nos dice cuĂ¡ndo una funciĂ³n es creciente o decreciente y nos da condiciones para los extremos a partir de condiciones que tienen que verificar derivadas de orden superior de la funciĂ³n:

Teorema. Sea \(f:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real y sea \(x_0\in (a,b)\) un punto interior del dominio de \(f\). Supongamos que existe un natural \(n\) tal que \(f\) es derivable hasta orden \(2n+2\) en un entorno de \(x_0\). Entonces:

  • Si \(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots =f^{(2n)}(x_0)=0\) y \(f^{(2n+1)}(x_0)\neq 0\), resulta que:
    • si \(f^{(2n+1)}(x_0)>0\), \(f\) es creciente en \(x_0\),
    • si \(f^{(2n+1)}(x_0)<0\), \(f\) es decreciente en \(x_0\).

Estudio del crecimiento y extremos de una funciĂ³n

Teorema (continuaciĂ³n).

  • Si \(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots =f^{(2n-1)}(x_0)=0\) y \(f^{(2n)}(x_0)\neq 0\), resulta que:
    • si \(f^{(2n)}(x_0)>0\), entonces \(f\) tiene un mĂ­nimo en \(x=x_0\),
    • si \(f^{(2n)}(x_0)<0\), entonces \(f\) tiene un mĂ¡ximo en \(x=x_0\).

ObservaciĂ³n: si aplicamos la primera parte del teorema anterior para \(n=0\), tenemos un resultado conocido: si \(f'(x_0)>0\), \(f\) es creciente en \(x_0\) y si \(f'(x_0)<0\), \(f\) es decreciente en \(x_0\). Por tanto, la primera parte del teorema generaliza dicho resultado.

Estudio del crecimiento y extremos de una funciĂ³n

ObservaciĂ³n (continuaciĂ³n): Respecto a la segunda parte del teorema, sabĂ­amos que si \(f\) tiene un extremo relativo en \(x_0\), entonces \(f'(x_0)=0\) y tambiĂ©n sabĂ­amos que el recĂ­proco era falso. Esta segunda parte nos dice cuando dicho recĂ­proco es cierto. Si lo aplicamos en el caso sencillo de que \(n=1\), nos dice que si \(f''(x_0)>0\), entonces \((x_0,f(x_0))\) es un mĂ­nimo relativo de \(f\) y si \(f''(x_0)<0\), entonces \((x_0,f(x_0))\) es un mĂ¡ximo relativo de \(f\).

Estudio del crecimiento y extremos de una funciĂ³n

DemostraciĂ³n

Consideremos la expresiĂ³n del polinomio de Taylor de grado \(2n+1\) en \(x_0\) junto con la expresiĂ³n del resto de Lagrange: \[ f(x)=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k + R_{2n+1}(x-x_0). \] Teniendo en cuenta que \(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots = f^{2n}(x_0)=0\), la expresiĂ³n anterior queda de la forma siguiente al ser \(0\) los sumandos para \(k=1,2,\ldots,2n\): \[ f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!}\cdot (x-x_0)^{2n+1} + R_{2n+1}(x-x_0). \] Por tanto: \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}=\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!} +\frac{R_{2n+1}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}. \]

Estudio del crecimiento y extremos de una funciĂ³n

Como \(R_{2n+1}(x-x_0)=\frac{f^{(2n+2)}(c)}{(2n+2)!}\cdot (x-x_0)^{2n+2}\), con \(c\in <x,x_0>\), se verificarĂ¡ que: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{R_{2n+1}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(2n+2)}(c)}{(2n+2)!}\cdot (x-x_0)=0. \] La condiciĂ³n anterior nos dice que el tĂ©rmino dominante en la expresiĂ³n de \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}\) es el primero, \(\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!}\), ya que el segundo, \(\frac{R_{2n+1}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}\), tiende a cero. Por tanto, para \(x\) suficientemente prĂ³ximo a \(x_0\), \[ \mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!}\right). \] Probemos a continuaciĂ³n las tesis de la primera parte del teorema:

Estudio del crecimiento y extremos de una funciĂ³n

  • supongamos que \(f^{(2n+1)}(x_0)>0\). En este caso, como \(\mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!}\right)\), tendremos que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}} > 0\), y, como consecuencia \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)} > 0\) (ya que \(2n+1\) es impar y el signo de \((x-x_0)^{2n+1}\) y \(x-x_0\) es el mismo), condiciĂ³n que equivale a decir que \(f\) es creciente en \(x_0\).

  • supongamos que \(f^{(2n+1)}(x_0)<0\). En este caso, como \(\mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n+1)}(x_0)}{(2n+1)!}\right)\), tendremos que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n+1}} < 0\), y, como consecuencia \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)} < 0\) (por la misma razĂ³n que antes), condiciĂ³n que equivale a decir que \(f\) es decreciente en \(x_0\).

Estudio del crecimiento y extremos de una funciĂ³n

Para la demostraciĂ³n de la segunda parte, consideremos la expresiĂ³n del polinomio de Taylor de grado \(2n\) en \(x_0\) junto con la expresiĂ³n del resto de Lagrange: \[ f(x)=\sum_{k=0}^{2n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k + R_{2n}(x-x_0). \] Teniendo en cuenta que \(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots = f^{2n-1}(x_0)=0\), la expresiĂ³n anterior queda de la forma siguiente al ser \(0\) los sumandos para \(k=1,2,\ldots,2n-1\): \[ f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}\cdot (x-x_0)^{2n} + R_{2n}(x-x_0). \] Por tanto: \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}}=\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!} +\frac{R_{2n}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n}}. \]

Estudio del crecimiento y extremos de una funciĂ³n

Como \(R_{2n}(x-x_0)=\frac{f^{(2n+1)}(c)}{(2n+1)!}\cdot (x-x_0)^{2n+1}\), con \(c\in <x,x_0>\), se verificarĂ¡ que: \[ \lim_{x\to x_0}\frac{R_{2n}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n}}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(2n+1)}(c)}{(2n+1)!}\cdot (x-x_0)=0. \] La condiciĂ³n anterior nos dice que el tĂ©rmino dominante en la expresiĂ³n de \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}}\) es el primero, \(\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}\), ya que el segundo, \(\frac{R_{2n}(x-x_0)}{(x-x_0)^{2n}}\), tiende a cero. Por tanto, para \(x\) suficientemente prĂ³ximo a \(x_0\), \[ \mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}\right). \]

Estudio del crecimiento y extremos de una funciĂ³n

Probemos a continuaciĂ³n las tesis de la segunda parte del teorema:

  • si \(f^{(2n)}(x_0)>0\), como \(\mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}\right)\), tendremos que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}} > 0\), y, como consecuencia \(f(x)-f(x_0) > 0\) (ya que \(2n\) es par y el signo de \((x-x_0)^{2n}\) siempre es positivo), condiciĂ³n que equivale a decir que \(f\) tiene un mĂ­nimo en \(x_0\).

  • si \(f^{(2n)}(x_0)<0\), como \(\mathrm{signo}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}}\right)=\mathrm{signo}\left(\frac{f^{(2n)}(x_0)}{(2n)!}\right)\), tendremos que \(\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2n}} < 0\), y, como consecuencia \(f(x)-f(x_0) < 0\) (por la misma razĂ³n que antes), condiciĂ³n que equivale a decir que \(f\) tiene un mĂ¡ximo en \(x_0\).

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

DefiniciĂ³n. Sea \(f:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Diremos que \(f\) es convexa si, y sĂ³lo si, dados \(x_1,x_2\in (a,b)\) y \(t\in [0,1]\) entonces \[ f(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2)\leq t\cdot f(x_1)+(1-t)\cdot f(x_2). \]

DefiniciĂ³n. Sea \(f:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Diremos que \(f\) es cĂ³ncava si, y sĂ³lo si, dados \(x_1,x_2\in (a,b)\) y \(t\in [0,1]\) entonces \[ f(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2)\geq t\cdot f(x_1)+(1-t)\cdot f(x_2). \]

Diremos que \(f\) es estrictamente convexa o estrictamente cĂ³ncava si las desigualdades anteriores son estrictas.

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

GrĂ¡ficamente una funciĂ³n es convexa cuando dados dos valores cualesquiera \(x_1<x_2\) dentro del dominio de la funciĂ³n, el trozo de la grĂ¡fica de la funciĂ³n entre \(x_1\) y \(x_2\) estĂ¡ por debajo de la recta que une los puntos \((x_1,f(x_1))\) y \((x_2,f(x_2))\).

Ver la figura siguiente.

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

MatemĂ¡ticamente, la condiciĂ³n anterior es equivalente a decir que para todo punto \(x\) del intervalo \([x_1,x_2]\), \(f(x)\leq \mathrm{imagen\ de\ }x\ \mathrm{por\ la\ recta\ que\ une\ los\ puntos\ }(x_1,f(x_1))\ \mathrm{e}\ (x_2,f(x_2)).\)

La ecuaciĂ³n de la recta que une los puntos \((x_1,f(x_1))\) e \((x_2,f(x_2))\) es la siguiente: \[ y=f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1). \]

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

Entonces decir que \(f(x)\leq \mathrm{imagen\ de\ }x\ \mathrm{por\ la\ recta\ que\ une\ los\ puntos\ }(x_1,f(x_1))\ \mathrm{e}\ (x_2,f(x_2))\) equivale a la expresiĂ³n siguiente: \[ f(x)\leq f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1). \] Los puntos \(x\) que estĂ¡n en el intervalo \([x_1,x_2]\) se pueden escribir como \(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2\) variando \(t\) en el intervalo \([0,1]\). Por ejemplo, para \(t=0\), obtenemos el extremo izquierdo \(x_1\), para \(t=1\), el extremo derecho \(x_2\) y para \(t=\frac{1}{2}\), el punto medio entre los dos valores \(\frac{x_1+x_2}{2}\).

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

La condiciĂ³n de concavidad serĂ­a la siguiente: dados \(x_1< x_2\) y \(t\in [0,1]\) se verifica: \[ \begin{array}{rl} f(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2) & \leq f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot (t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2-x_1)\\ f(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2) & \leq f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot (1-t)\cdot (x_2-x_1)\\ f(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2) & \leq f(x_1)+(f(x_2)-f(x_1))\cdot (1-t) \\ f(t\cdot x_1+(1-t)\cdot x_2) & \leq t\cdot f(x_1)+(1-t)\cdot f(x_2). \end{array} \] La Ăºltima desigualdad es la condiciĂ³n que tenemos en la definiciĂ³n de convexidad.

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

La concavidad se razona de la misma manera, sĂ³lo se tiene que tener en cuenta que ahora dados dos valores cualesquiera \(x_1<x_2\) dentro del dominio de la funciĂ³n, el trozo de la grĂ¡fica de la funciĂ³n entre \(x_1\) y \(x_2\) estĂ¡ por encima de la recta que une los puntos \((x_1,f(x_1))\) y \((x_2,f(x_2))\).

Ver la figura siguiente.

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

Un punto de inflexiĂ³n de una funciĂ³n es un punto donde a la izquierda del mismo la funciĂ³n tiene un tipo de convexidad (cĂ³ncava o convexa) y a la derecha, otro tipo de convexidad. Es decir, se pasa de cĂ³ncava a convexa o de convexa a cĂ³ncava:

DefiniciĂ³n de punto de inflexiĂ³n. Sea \(f:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto del interior del dominio de \(f\). Diremos que \(x_0\) es un punto de inflexiĂ³n si existe un valor \(\delta >0\) tal que si \(x\in (x_0-\delta,x_0)\), \(f\) es concava (convexa) en \(x\) y si \(x\in (x_0,x_0+\delta)\), \(f\) es convexa (concava) en \(x\).

Ver la figura siguiente.

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

El siguiente resultado caracteriza la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n a partir de sus derivadas:

Teorema. Sea \(f:(a,b)\longrightarrow\mathbb{R}\) una funciĂ³n real de variable real. Sea \(x_0\in (a,b)\) un punto del interior del dominio de \(f\). Supongamos que existe un natural \(n\) tal que \(f\) es derivable \(2n+1\) veces. Entonces:

  • si \(f''(x_0)=f'''(x_0)=\cdots = f^{(2n-1)}(x_0)=0\) y \(f^{(2n)}(x_0)\neq 0\), entonces
    • si \(f^{(2n)}(x_0)>0\), tenemos que \(f\) es convexa en \(x_0\) y
    • si \(f^{(2n)}(x_0)<0\), tenemos que \(f\) es cĂ³ncava en \(x_0\).

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

Teorema (continuaciĂ³n).

  • si \(f''(x_0)=f'''(x_0)=\cdots = f^{(2n)}(x_0)=0\) y \(f^{(2n+1)}(x_0)\neq 0\), entonces \(f\) tiene un punto de inflexiĂ³n en \(x=x_0\).

ObservaciĂ³n. Si aplicamos el teorema anterior para \(n=1\), obtenemos que si \(f''(x_0)>0\), \(f\) es convexa en \(x_0\) y si \(f''(x_0)<0\), \(f\) es cĂ³ncava en \(x_0\). En caso en que \(f''(x_0)=0\) sea \(0\) pero \(f'''(x_0)\neq 0\), \(x_0\) es un punto de inflexiĂ³n de \(f\).

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n

ObservaciĂ³n. Dicho en otros tĂ©rminos, si \(f''(x_0)>0\), vimos anteriormente que \(f'\) es una funciĂ³n creciente en \(x_0\) y si \(f''(x_0)<0\), \(f'\) es una funciĂ³n decreciente en un entorno de \(x_0\).

Es decir que si una funciĂ³n es convexa, \(f'\) es creciente y si es cĂ³ncava, \(f'\) es decreciente.

En el grĂ¡fico siguiente se muestran en verde un conjunto de rectas tangentes a una funciĂ³n convexa en rojo. FijĂ¡os que a medida que la variable \(x\) aumenta, la pendiente de las rectas tangentes, es decir, la derivada va aumentando. Es decir, las rectas tangentes cada vez estĂ¡n “mĂ¡s verticales”. Se empieza con rectas tangentes de pendiente negativa, se llega a la recta tangente de pendiente cero (el mĂ­nimo) y se acaba con rectas tangentes de pendiente positiva.

Estudio de la concavidad y la convexidad de una funciĂ³n